第21讲双曲线及其标准方程7种常见考法归类
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
知识点1双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注：1、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.常数要小于两个定点的距离．
2、对双曲线定义中限制条件的理解
(1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在．
(2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．
(3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于与的大小.
①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
知识点2双曲线的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1
(a0，b0)
eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1
(a0，b0)
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2a与b没有大小关系
注：1、双曲线的标准方程推导过程
①观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，
此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，焦距为2c，c0.
设P(x，y)是双曲线上一点，则
||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，
因为|PF1|＝eq\r(?x＋c?2＋y2)，|PF2|＝eq\r(?x－c?2＋y2)，
所以eq\r(?x＋c?2＋y2)－eq\r(?x－c?2＋y2)＝±2a，①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，两边同除以a2(c2－a2)，得eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,c2－a2)＝1.
由双曲线的定义知，2c2a，即ca，所以c2－a20，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b0，代入上式，得eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)．
②设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中ca0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
【答案】eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a0，b0)．
2、巧记双曲线焦点位置与方程的关系
两种双曲线，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
3、共焦点双曲线的设法
与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)有公共焦点的双曲线方程为eq\f(x2,a2＋λ)－eq\f(y2,b2－λ)＝1(－a2λb2)；与双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a0，b0)有公共焦点的双曲线方程为eq\f(y2,a2＋λ)－eq\f(x2,b2－λ)＝1(－a2λb2)．
知识点3双曲线的焦点三角形
双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．
以双曲线上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)双曲线的定义：
(2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.
(3)面积公式：S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ，
重要结论：S△PF1F2=
推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ得
由三角形的面积公式可得
S△PF1F2=
=
1、双曲线方程的辨识方法
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，则当mn0时，方程表示双曲线．若eq\b\lc\