第20讲椭圆的简单几何性质10种常见考法归类
1.掌握椭圆的简单几何性质．
2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想.
知识点1椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0),_B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a),B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长＝eq\a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq\a\vs4\al(2b)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率
e＝eq\f(c,a)(0e1)（注：e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(\f(1,1＋\f(b2,c2))).）
注：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
(4)椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置．
(5)已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点．
(6)椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
拓展：用离心率e＝eq\f(c,a)来刻画椭圆的扁平程度．
如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝eq\f(c,a)，记e＝eq\f(c,a)，则0e1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越接近于圆．
(7)常用椭圆方程的设法
①与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：
②有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）
知识点2点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的位置关系：
点P在椭圆上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)1；点P在椭圆外部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)1.
知识点3直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的位置关系，判断方法：
联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．
当Δ0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ0时，方程无解，直线与椭圆相离．
知识点4直线与椭圆相交的弦长公式
1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2．求弦长的方法
(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
(2)根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(?x1＋x2?2－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(?y1＋y2?2－4y1y2).
注：（1）已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为，运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上，
两式相减得：，
即，故
（2）弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：
1、用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式；
(2)确定焦点位置；
(3)求出a，b，c；
(4)写出椭圆的几何性质．
注：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
2、利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置；
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq\f(c,a)等．
3、求椭圆离