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广东省大湾区2024-2025学年高二上学期期末统一测试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，已知向量若则（???）
A． B． C． D．
2．过点，倾斜角为的直线方程是（????）
A． B．
C． D．
3．圆：与圆的位置关系为（????）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
4．已知数列的各项均不为0，，，则（????）
A． B． C． D．
5．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（????）
A． B． C． D．
6．关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（????）
A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于对称 D．关于原点中心对称
7．已知椭圆的两个焦点为，过的直线与交于两点.若，，且的面积为，则椭圆的方程为（????）
A． B．
C． D．
8．古典吉他的示意图如图所示．分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．则（????）
A．数列是等差数列，且公差为
B．数列是等比数列，且公比为
C．数列是等比数列，且公比为
D．数列是等差数列，且公差为
二、多选题
9．直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（????）
A．抛物线的焦点坐标为 B．的最小值为4
C．对任意的直线， D．以为直径的圆与抛物线的准线相切
10．如图，在平行六面体中，，，底面ABCD为菱形，，与AB，AD所成的角均为（????）
A．
B．四边形为矩形
C．
D．如果，那么点M在平面内
11．已知数列：0，2，0，2，0，现在对该数列进行一种变换，规则：每个0都变为“2，0，2”，每个2都变为“0，2，0”，得到一个新数列，记数列，，且的所有项的和为，则以下判断正确的是（????）
A．的项数为 B．
C．中0的个数为203 D．
三、填空题
12．点为圆上的动点，则的取值范围为.
13．已知双曲线的一条渐近线的方程为，则C的离心率的值为.
14．正方形的边长为12，其内有两点P，Q，点P到边，的距离分别为3和1，点Q到边，AB的距离也分别为3和1．现将正方形卷成一个圆柱，使得AB和重合（如图），则此时P，Q两点间的距离为．
四、解答题
15．已知圆，直线.
(1)求直线恒过定点的坐标；
(2)求直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长.
16．已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和.
17．如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面且，E为中点.
??
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值；
(3)求点C到平面的距离.
18．在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为.
(1)证明：向量是平面的法向量；
(2)若平面，平面，直线l为平面和平面的交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）；
(3)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，，，平面，平面，求实数m的值.
19．已知双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于两点（在第一象限），与轴交于点.设直线的倾斜角分别为.
(1)若，
（i）若，求；
（ii）求证：为定值；
(2)若，直线与轴交于点，求与的外接圆半径之比的最大值.
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《广东省大湾区2024-2025学年高二上学期期末统一测试数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
C
D
D
A
B
BD
ABD
题号
11
答案
ABC
1．D
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示运算求解.
【详解】由可得，
即，
解之可得.
故选：D
2．C
【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程.
【详解】由倾斜角为知，直线的斜率为，又直线过点，
所以直线方程为，化简得.
故选：C.
3．A
【分析】求出两圆的圆心距，则有，即可判断两圆位置关系.
【详解】圆的圆心为，半径为；，
则圆的圆心为，半径为.
两圆心之间的距离，
且满足，可