第24章圆24.6正多边形与圆第1课时正多边形与圆

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1．给出下列说法：①各边相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆外切多边形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各角相等的圆外切多边形是正多边形．其中正确的是()A．①④B．②③C．①②③④D．都不正确

返回【点拨】①各边相等的圆内接多边形是正多边形，正确；②各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，如菱形，故②错误；③圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故③错误；④各角相等的圆外切多边形是正多边形，正确；∴正确的为①④.故选A.【答案】A

2．求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形．已知：如图，多边形ABCDE…是⊙O的内接多边形，AB＝BC＝CD＝DE＝….求证：多边形ABCDE…是正多边形.

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3．下面是“作已知圆的内接正方形”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O.求作：⊙O的内接正方形．作法：(1)作⊙O的直径AB；

【解】如图，四边形ACBD即为所作.证明：由作图知CD为AB的垂直平分线，∴∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90°，且CD经过圆心O，∴AC＝BC＝BD＝AD，∴四边形ACBD是菱形．由AB为⊙O的直径，知∠ACB＝90°，∴四边形ACBD是正方形.返回

4．用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三角形、正四边形、正五边形、正六边形和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下面的方法近似地作出一个正七边形：

如图，已知AB为⊙O的直径．步骤一：作出半径OB的垂直平分线，与⊙O交于E，F两点，垂足为D.步骤二：以ED为半径，在⊙O上依次截取BG＝GH＝HM＝MN＝NP＝PQ＝ED.步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形BGHMNPQ.

请根据上面的方法，用直尺(没有刻度)和圆规在已知⊙O中作出正七边形BGHMNPQ.要求：不写作法，但要保留作图痕迹．

返回【解】如图所示，七边形BGHMNPQ为所要作的正七边形.