8.6.3平面与平面垂直(1)
【学习目标】
1.理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单二面角的平面角的大小.
2.了解面面垂直的定义,掌握面面垂直的判定定理,学会用判定定理证明垂直关系.
【素养达成】
数学抽象、数学运算
直观想象、逻辑推理
一、二面角
1.定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
2.图形:
3.记作:二面角αABβ;二面角αlβ;
二面角PABQ;二面角PlQ.
4.二面角的平面角:
(1)定义:在二面角αlβ的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
(2)图形:
(3)范围:0°≤∠AOB≤180°.
【教材挖掘】(P155156)
二面角是一个角吗?其平面角是否只有一个?
提示:不是,二面角是从一条直线出发的两个半平面构成的空间图形.其平面角有无数个.
【版本交融】(苏教P191思考)
二面角αlβ的平面角的大小,与角的顶点O的位置有关吗?
提示:无关.如图,根据等角定理可知,∠AOB=∠AOB,即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关.
二、平面与平面垂直
1.定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
2.图示:
3.判定定理:
(1)定理:如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直;
(2)符号:a?α,a⊥β?α⊥β.
【教材挖掘】(P157)
过一点有多少个平面与已知平面垂直?为什么?
提示:过一点有无数个平面与已知平面垂直,虽然过一点有且只有一条直线和已知平面垂直,但是经过这条垂线的所有平面都和已知平面垂直.
【版本交融】(苏教P195)
为使门在打开的过程中门所在平面都与地面垂直,在安装门的时候,固定门一边的两个合页所在的直线与地面什么关系?为什么?
提示:垂直.安装门的时候,只要固定门一边的两个合页所在的直线与地面垂直,即门所在平面经过地面的垂线,由面面垂直的判定定理可知,门所在的平面与地面垂直.
教材深化
证明或判断面面垂直的方法:
1.利用面面垂直的定义.
2.利用面面垂直的判定定理.
3.利用判断面面垂直的结论
(1)m∥n,m⊥α,n?β?α⊥β;
(2)m⊥α,n⊥β,m⊥n?α⊥β;
(3)α∥β,γ⊥α?γ⊥β.
【明辨是非】
(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)顶点在棱上,两条边分别在两个半平面内的角就是二面角的平面角.(×)
提示:二面角的平面角的两边与棱垂直.
(2)长方体的侧面与底面是垂直的.(√)
提示:由长方体的性质可知.
(3)若一条直线垂直于一个平面,则经过这条直线的所有平面都与这个平面垂直.(√)
提示:由面面垂直的判定定理可知.
(4)若平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线,则α⊥β.(×)
提示:平面α与平面β平行,垂直,相交但不垂直都有可能.
类型一求二面角的大小(数学运算)
【典例1】(1)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,则二面角AB1D1B的余弦值为()
A.63 B.73 C.64
【解析】选A.如图所示,连接AC交BD于点O,取B1D1的中点E,连接AE,OE,则AE⊥B1D1,OE⊥B1D1,所以∠AEO是二面角AB1D1B的平面角.又正方体的棱长为1,所以B1D1=B1A=AD1=2,所以AE=62.又OE=BB1
所以cos∠AEO=OEAE=63,即二面角AB1D1B的余弦值为
(2)(教材P158例8改编)如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A,B)且PA=AC,则二面角PBCA的大小为()
A.60° B.30° C.45° D.15°
【解析】选C.由条件得PA⊥BC,AC⊥BC,
又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以PC⊥BC,所以∠PCA为二面角PBCA的平面角.
在Rt△PAC中,由PA=AC得∠PCA=45°.
【总结升华】
关于二面角大小的求法
(1)步骤:
简称为“一作二证三求”.
(2)方法:
①定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.
②垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.
【即学即练】
如图,在正方体ABCDABCD中:
二面角DABD的大小为__________;二面角AABD的大小为__________.?
答案:45°90°
【解析】在正方体ABCDABCD中,AB⊥平面ADDA,所以AB⊥AD,AB⊥AD,因此∠DAD为二面角DABD的平面角.
在Rt△