数形结合巧解巧编上海高考压轴题
杨新荣
（浙江省德清县第三中学）
笔者经过研究发现，今年的上海市理科数学压轴题，可谓是难得的一个好题，一个探究型教学的好例．
原题：给定常数,定义函数，数列满足
（1）若.
(2)求证：对任意的，有
(3)是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由.
标准答案是用代数的方法分段讨论进行证明和求解，解法繁琐，讨论过程中较易出现疏漏。笔者应用线性规划的思想进行求解，解法简洁且易于探究.简述如下：
O8x
O
8
x
y
-4
-4-c
-c
-c-8
作其图像如图所示：
（1）由于，故
(2)即证：对任意的，点（）均在
直线的上方.如图,由于的图像
上的每个点均在直线的上方，而点
（）又在的图像上，故结论成立.
(3)由于点A（）和B（）均在的图像上，若成等差数列，则，即点（）必在直线上，或（）中的第一个点为直线与的交点，即，故的取值范围是．
探究1.若把上图中的直线改为过点A的任意一条直线，其中，此时，函数的图像上的每个点均在直线的上方，故对任意的有成立.
探究2.对函数作怎样的变换，才能使得成等比数列？
显然，若成等比数列，则点（）必在某个正比例函数的图像上，又点（）在的图像上，故只需将的图像向下平移个单位，取即可.此时的图像过原点，且既成等差又成等比，故为常数列.
探究3.对函数作怎样的变换，才能使成为非等差的等比数列呢？
事实上，只需在探究2的基础上再对作一个伸缩变换得到,此时的图像过原点，且在的斜率不为1，因此，成为非等差的等比数列.
探究4.更进一步，把变成任何一个开口向上的函数，数列满足，只要能够作出一条直线，使得的图像均在这条直线的上方，则必有成立.
通过这种探究式的教学，学生不仅学会了解题，掌握了新知，更学会了编题，看清了问题的本质，可谓一举多得，真是一个难得一见的好例．