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文档摘要

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三节平面向量的数量积

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4.能运用数量积表示两个

向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

知识梳理

一、平面向量的数量积的定义

→→

ababOOAaOBbAOB

1．向量，的夹角：已知两个非零向量，，过点作＝，＝，则∠＝

θθab

(0°≤≤180°)叫做向量，的夹角．

abθabθ

当且仅当两个非零向量，同方向时，＝0°，当且仅当，反方向时，＝180°，

同时零向量与其他任何非零向量的夹角是任意的．

abababab

2．与垂直：如果，的夹角为90°，则称与垂直，记作⊥.

||||

ababθabθa

3．与的数量积：两个非零向量，，它们的夹角为，则cos叫做

||||

babababθaa

与的数量积(或内积)，记作·，即·＝cos，规定0·＝0，非零向量

babθab

与当且仅当⊥时，＝90°，这时·＝0.

ab

||?＝·?||

b??OP

baOPθ

4．在方向上的投影：||＝cos||R(注意是射影)．

?a?

abababa

5．·的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积．

1/6

二、平面向量数量积的性质

abe

设，是两个非零向量，是单位向量，于是有：

||

eaaeaθ

1．·＝·＝cos.

abab

2．⊥?·＝0.

|||||||