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第三节函数的奇偶性与周期性

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.

2.了解函数的周期性.

3.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.

知识梳理

一、函数的奇偶性

1．函数奇偶性的定义及简单性质.

fxfxfxfx

2.若()为偶函数，则(－)＝()＝(||)，反之，也成立．

fxf

3．若奇函数()的定义域包含0，则(0)＝0.

4．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式．

在定义域关于原点对称的情况下，

1/5

fx

fxfxfxfx

(1)若()－(－)＝0或＝1[(－)≠0]，则()为偶函数；

fx

－

fx

fxfxfxfx

(2)若()＋(－)＝0或＝－1[(－)≠0]，则()为奇函数．

fx

－

fxgxDD

5．设()，()的定义域分别是，，那么在它们的公共定义域上：

12

奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×奇＝偶，奇×偶＝奇．

二、函数的周期性

TxfxTfx

1．周期函数定义：若为非零常数，对于定义域内的任意，使得(＋)＝()恒成

fxT

立，则()叫做________，叫做这个函数的________．

TfxkTkk

2．周期函数的性质：(1)若是函数()的一个周期，则(∈Z，≠0)也是它的一

个周期；

TT

????

?x??x?

fxTfxf＋f－

(2)(＋)＝()常写作＝；

????

22

fxfx

(3)若()的周期中，存在一个最小的正数，则称它为()的最小正周期；

T

fxTfωxω

(4)若周期函数()的周期为，则()(≠0)也是周期函数，且周期为.

ω