十一节轨迹方程的求法
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
知识梳理
一、“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念
C
在直角坐标系中，如果某曲线(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二
fxy
元方程(，)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
二、求曲线的(轨迹)方程
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一．求符合某种条件的动点的轨迹方
程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．这类
问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握外，还充分考查了各种数学思
想方法及一定的推理能力和运算能力．
它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及
圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹
的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程．因此在
求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，
一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用．
(1)用直接法求曲线(轨迹)方程的基本步骤．
Mxy
①建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标(，)；
PMPM
②列几何等式：写出适合条件的点的集合＝{|()}，关键是根据条件列出适合条件
的等式；
③化为代数等式：用坐标代换几何等式，列出方程；
fxy
④化简：把方程(，)＝0化成最简形式；
⑤证明：证明化简后的方程就是所求曲线的方程．
除个别情况外，化简过程都是同解变形，所以步骤⑤可以省略不写．如有特殊情况，可
适当加以说明，步骤②也可省略．
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(2)求曲线轨迹方程应注意的问题．
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x
①要注意一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方程注明的取值范围，或同时
xy
注明，的取值范围，保证轨迹的纯粹性；
②若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性；
③曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅要求出方程，而且要指明曲线
的位置、类型．
基础自测
1．(2013·衡水中学模拟)下列说法正确的是()
ABCABCABx
A．在△中，已知(1,1)，(4,1)，(2,3)，则边上的高的方程是＝2
2
yxx
B．方程＝(≥0)的曲线是抛物线
1
ABPPAPBABP
C．已知平面上两定点，动点满足||－||＝||，则点的轨迹是双曲线
2
yx
D．第一、三象限角平分线的方程是＝
解析：A选项中高线为线段，B选项中为抛物线的