第03讲正方形的性质和判定
【题型1利用正方形的性质求解】
【题型2添一个条件使四边形是正方形】
【题型3证明四边形是正方形】
【题型4中点四边形】
【题型5正方形的判定与性质综合】
考点1：正方形的概念与性质
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）
【题型1利用正方形的性质求解】
【典例1】（2025·河南郑州·一模）如图，在正方形ABCD中，AB=4，CE=DF=1，DE，AF交于点G，点H为AE的中点，连接GH，则
A．2 B．32 C．2 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识进行求解是解题的关键．
根据正方形的性质可得∠C=∠ADC=90°，AD=DC=AB=BC=4，进而运用勾股定理得到AE=5，再证明△ADF≌△DCE得到
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，AB=4，
∴∠C=∠ADC=90°，
∴BE=BC-CE=3，
∴AE=
在△ADF和△DCE中，
CE=DF∠ADF=∠C
∴△ADF≌
∴∠DAF=∠CDE
∵∠DFA+∠DAF=90°，
∴∠DFA+∠CDE=90°，
∴∠DGF=∠AGE=90°，
∵点H为AE的中点，
∴GH=1
故选D．
【变式1-1】（22-23八年级下·四川宜宾·期末）若正方形的对角线长为8cm，则这个正方形的面积为（????
A．32cm2 B．64cm2 C．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质，根据正方形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．
【详解】解：∵正方形的对角线长为8cm
∴正方形的面积为：12
故选A．
【变式1-2】（22-23九年级上·山西太原·阶段练习）如图，由正方形和等边三角形组成，其中∠EBC=．
【答案】15°/15度
【分析】本题考查了正方形的性质、三角形内角和性质以及等边三角形的性质，由正方形的性质得∠BCD=90°，BC=CD，由等边三角形的性质得出∠ECD=60°，CD=CE
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠ECD=60°，CD=CE
则∠BCE=90°+60°=150°，BC=CE，
∴∠EBC=∠BEC=1
故答案为：15°．
【变式1-3】（22-23八年级下·山东烟台·期中）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠AFD=65°，则∠CEF的度数为．
??
【答案】40°/40度
【分析】根据正方形的性质及直角三角形的特征可得∠DAF=25°，在根据全等三角形的判定及性质可得∠DCE=25°，再根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=∠BAD=90°，∠ADB=∠CDB，
在△ADE和△CDE中，
AD=CD∠ADE=∠CDE
∴△ADE≌△CDE(ASA
∴∠DCE=∠DAE，
∵∠AFD=65°，
∴∠DCE=∠DAE=90°-65°=25°，
∴∠CEF=∠DFA-∠DCE=65°-25°=40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征及三角形外角的性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
考点2：正方形的判定
※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；
邻边相等的矩形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形。
注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：
【题型2添一个条件使四边形是正方形】
【典例2】（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O，下列条件中能判定四边形ABCD是正方形的是（???）
A．OA=OC B．OA=OB C．AB⊥BC D．OA⊥OB
【答案】D
【分析】本题考查正方形的判定，根据正方形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：∵矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，
∴OA=OC=OB=OD，AB⊥BC，
A，OA=OC，不能判定四边形ABCD是正方形；
B，OA=OB，不能判定四边形ABCD是正方形；
C，AB⊥BC，不能判定四边形ABCD是正方形；
D，OA⊥OB，由对角线互相垂直的矩形为正方形，能判定四边形ABCD是正方形；
故选D．
【变式2-1】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（
A．BD=AB B．OA=OB C．