?本节讨论一阶线性微分方程(1)(2)叫做对应于非齐次线性方程(1)的齐次线性方程。Q(x)?0时称为一阶非齐次线性微分方程，Q(x)?0时称为一阶齐次线性微分方程。第23页，共76页，星期日，2025年，2月5日分离变量法这里表示P(x)的任一原函数。(3)一阶齐次线性方程(2)的解法得方程(2)的通解注：通解(3)包含了方程(2)的全部解。第24页，共76页，星期日，2025年，2月5日常数变易法，令一阶非齐次线性方程(1)的解法第25页，共76页，星期日，2025年，2月5日用常数变易法解非齐次方程的步骤：1.求出相应的齐次方程的通解；2.将通解中的任意常数C变为函数C(x)，然后代入非齐次方程求出C(x)。3.非齐次方程的通解等于对应齐次方程的通解与方程的任意一个特解之和。第26页，共76页，星期日，2025年，2月5日例解方程第27页，共76页，星期日，2025年，2月5日习题(315)：1(3)(9)，2(5)，6，7(3)。作业第28页，共76页，星期日，2025年，2月5日§5可降阶的高阶微分方程第29页，共76页，星期日，2025年，2月5日三种可降阶的高阶微分方程一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程第30页，共76页，星期日，2025年，2月5日y(n)?f(x)型积分一次再积分一次共积分n次，便得到含n个任意常数的通解：——可逐次积分求得通解第31页，共76页，星期日，2025年，2月5日例求y’’’?e2x?cosx的通解。解第32页，共76页，星期日，2025年，2月5日y???f(x,y?)型令y??p，方程变为p??f(x,p)，设其通解为p??(x,C1)，——不显含y即y’??(x,C1)，说明：对于方程y(n)?f(x,y(n?1))，可令y(n?1)?p而化为一阶微分方程p??f(x,p)。第33页，共76页，星期日，2025年，2月5日例求微分方程(1?x2)y???2xy?的通解及满足初始条件y(0)?1,y’(0)?3的特解。y?x3?3x?1。例解方程第34页，共76页，星期日，2025年，2月5日这时仍令y??p作为新未知函数，方程变为，设其通解为p??(y,C1)，则y???f(y,y?)型——不显含x第35页，共76页，星期日，2025年，2月5日例解方程例.解初值问题第36页，共76页，星期日，2025年，2月5日习题(P323)：1(2)(6)(10)，2(2)(4)(5)，3作业第37页，共76页，星期日，2025年，2月5日§6高阶线性微分方程第38页，共76页，星期日，2025年，2月5日一、二阶线性微分方程举例例1求弹簧振子的运动规律x(t)。xOx自由振动的微分方程强迫振动的微分方程第39页，共76页，星期日，2025年，2月5日这就是串联电路的振荡方程，其中例2设由电阻R、电感L、电容C和电源E?Emsin?t串联组成的电路中，电容C两极板间的电压为uC，则有第40页，共76页，星期日，2025年，2月5日二、函数的线性相关与线性无关定义设y1,y2,…,yn是定义在区间I上的n个函数，如果存在n个不全为零的常数k1,k2,…,kn，使在I上就称这n个函数在I上线性相关，否则称为线性无关。第41页，共76页，星期日，2025年，2月5日?例如：1,cos2x,sin2x在(?????)线性相关；1,x,x2在任何区间上线性无关。说明：1)线性相关??其中至少有一个函数可由其它函数线性表出；2)y1,y2,…,yn线性无关??若k1y1?k2y2?…?knyn?0,则k1?k2?…?kn?0。3)y1与y2线性相关???常数。第42页，共76页，星期日，2025年，2月5日?n阶线性微分方程的一般形式：二阶非齐次线