浅析分块矩阵行列式计算方法
TOC\o1-3\h\z\u204291前言 1
246672分块矩阵 2
170722.1分块矩阵的发展背景 2
311992.2分块矩阵的基本概念 2
110672.3分块矩阵的运算 3
322893特殊分块矩阵行列式的计算 10
198233.1分块对角矩阵行列式的计算方法 10
206593.2三角分块矩阵行列式的计算方法 11
224784四分块矩阵行列式的计算 15
88295总结 22
10843参考文献 23
摘要：分块矩阵是线性代数中一个十分重要的概念，它可以使矩阵的表示简单明了，使矩阵的运算得以简化，而且还可以利用分块矩阵来简化行列式的计算.本文首先介绍分块矩阵的基本概念和相关的运算性质以及分块矩阵的初等变换，其次讨论了如何利用Laplace定理和分块矩阵的初等变换计算对角分块矩阵及上、下三角分块矩阵的行列式的值，最后介绍对一般的高阶矩阵进行四分块，利用分块矩阵相关定理计算该四分块矩阵行列式的值.
关键词：初等变换；分块对角矩阵；上下三角分块矩阵；四分块矩阵
1前言
在近代数学发展历程中，线性代数已成为大学数学专业学生必修的专业知识，学生在线性代数学习过程中，学生经常会遇到求高阶矩阵行列式遇到求的问题，但是在线性代数教材中对高阶矩阵行列式的计算十分模糊，使得多数学生在遇到对高阶矩阵行列式进行计算时，没有明确的解题思路，导致计算过程繁琐且难以得出正确的结论.为使高阶矩阵行列式值的计算过程简化易懂，本文主要对阶数较高的矩阵进行适当分块，再探究分块矩阵行列式的计算方法.
在矩阵理论的相关内容中，分块矩阵具有十分重要的意义，是处理高阶矩阵运算的重要方法，也是解决高阶矩阵行列式计算问题的一个重要工具.一方面，它是高阶矩阵行列式计算方法的扩展和提高，是矩阵理论的进步深化；另一方面，它又为继续学习矩阵理论奠定坚实的基础.将矩阵进行分块是把高阶矩阵转化为低阶矩阵的常用方法，即把一个高阶矩阵的行和列按照适当的分割方式分割成一些小的子矩阵，然后将分割后的每个小矩阵看成一个元素，所谓分块矩阵也就是由这些元素重新整合而成的矩阵.分块矩阵的作用就是对高阶矩阵进行适当的分块，以便于更快速地对高阶矩阵行列式进行计算，除此之外，它能让高阶矩阵的结构变得简洁明了，从而简化了高阶矩阵行列式的运算步骤，使得学生能够快速计算出正确的结果.
分块矩阵相对于一般矩阵而言，研究对象经过多次初等变换和抽象变化后，很多内容缺乏直观的几何背景，只能用定理方法形式化地处理.为了帮助学生尽快掌握分块矩阵的基本理论和方法，本文注重对重要概念和基本定理进行解析，力求做到深入浅出，通俗易懂.精选具有典型性、代表性的问题作为例题，便于学生对分块矩阵行列式的计算方法进行归纳总结，每节给出对高阶矩阵的不同分块形式，对矩阵从具体分块到一般分块，
充分考虑到学生专业发展的需要.每节均给出主要内容，目标要求及要点总结，其目的是对章节内容框架有总体的把握.
本文主要利用分块矩阵的相关概念及定理，对矩阵进行适当分块，从而简化高阶矩阵行列式的计算过程，并对其高阶矩阵的多种分块方法进行分析探究，提高分析处理数学问题的能力.
2分块矩阵
2.1分块矩阵的发展背景
随着时代的发展，数学的作用越来越明显.线性代数作为数学领域新兴的一个分支，也备受人们的关注，矩阵作为研究线性代数的一个重要工具，其地位显而易见.由此，如何使矩阵运算更加简便的研究层出不穷.分块矩阵便在此种背景下诞生.
2.2分块矩阵的基本概念
对于一些难以运算或者特性不明显的高阶矩阵，为了简化矩阵的运算或凸显出矩阵中某些部分的特性，矩阵分块是将大矩阵的运算转化成小矩阵的运算的常用方法，或将矩阵某些部分的特性呈现出来.
例如矩阵
从整体上来看，不易发现各部分的特性，若在的第3行和第4行之间作一条水平线，在第3列和第4列之间作一条铅垂线，将分成4块，则每一块构成的小矩阵的特性就一目了然，而其运算时可以把小矩阵看成元素一样处理，即
其中
一般地，在高阶矩阵的每一行之间作水平线，或在每一列之间作铅垂线，就可以对矩阵进行分割为一些小的子块，分割后的子块可看做是矩阵的子块元素，由这些元素重新整合而成的矩阵就叫做分块矩阵.
矩阵的分块方式视具体需要而定，但需要保证每一块都能构成一个小矩阵.例如，在上述矩阵中把每一列分成一个子块，则得分块矩阵
其中
，
又如，把矩阵中的每一行分成一个子块，则得分块矩阵
,
其中
2.3分块矩阵的运算
在线性代数中我们已经学习了一般矩阵的运算规则，分块矩阵的运算规则与一般矩阵的运算规则具有相似之处，下面将对分块矩阵的运算规则进行说明如下：
(1)分块矩阵的加法
设矩阵是同型矩阵，将与用相同的