昭通学院数学与统计学院2021届毕业论文(设计)
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浅析调和级数的敛散性
TOC\o1-2\h\z\u1引言 1
2预备知识 2
2.1调和级数的定义 2
2.2数项级数收敛的定义 2
2.3证明调和级数发散性的相关引理 2
3调和级数的相关理论 4
3.1调和级数的性质 4
3.2P-级数的一个特例 5
4调和级数敛散性的不同证法 7
4.1直接证明 7
4.2间接证明 11
5调和级数发散性的应用 16
6结束语 17
参考文献 19
摘要:调和级数在数项级数中占有非常重要的地位,是级数理论中一个较为重要的发散级数.我们常常将调和级数作为被比较的对象,借助调和级数来判别其它一些级数的敛散性,而级数是进行数值计算的重要工具,但其发散性却不那么直观.本文论述了调和级数的部分性质以及与P-级数之间的联系,从调和级数发散性最初的证明思想出发,介绍了调和级数发散性证明的多种方法.通过这些证明,使得对级数敛散性的学习和研究更有效,也有助于大学生熟练掌握级数敛散性的证明方法.最后通过几个例子阐述了调和级数发散性的具体应用.
关键词:调和级数;敛散性;应用
1引言
级数是研究无穷离散量和的数学模型,它不仅是表示函数及进行数值计算的一个有力工具,而且是研究函数性质的一个重要手段.高等数学在级数部分有一个重要的级数——调和级数.调和级数是级数理论中的一个非常重要的发散级数,我们常常将调和级数作为被比较的对象,借助调和级数来判别其它一些级数的敛散性.调和级数作为一个标尺,在判别另外一个级数的敛散性方面起着重要作用.在判定级数敛散性的分析过程中,关键是分析级数通项的形式和特点.在适当的情况下,我们可以采用一些不等式的放缩技巧,或利用已知敛散性的级数进行判定,如几何级数、调和级数、P-级数等进行与之比较.这样,我们就可以顺利地判定级数的敛散性REF_Re\r\h[1].
关于调和级数的发散性,早在14世纪,尼克尔·奥里斯姆就已经证明了,但是知道的人不多,他对调和级数发散的证明是非常经典的,也在很多教科书上作为调和级数发散的规范证明之一.17世纪时,皮耶特罗·曼戈里、约翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部证明工作.级数理论是分析学的一个分支,它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中.对于调和级数敛散性的证明方法有很多种,例如,应用微分中值定理证明、应用泰勒级数证明、利用傅里叶级数展开证明、级数与广义积分敛散性的关系、级数敛散性的各种判别法、级数及数列敛散性的定义和性质等.近年来,我国也有很多的硕士、博士、学者、一线老师等都在关于调和级数敛散性这个问题上做了研究REF_Re\r\h[2].理解和掌握这些证明方法,对级数敛散性的学习和研究是非常有益的,特别在其证明方面能起到举一反三,融会贯通的作用.本论文以调和级数的基础内容及相关理论为立足点,通过在前人研究的基础上,对调和级数的敛散性进行探讨,总结归纳出调和级数敛散性的相关证明方法,以展现出调和级数在级数理论中的重要作用,有利于让学生在以后学习相关内容时更好的了解和利用调和级数解决相关问题REF_Re\r\h[3].
2预备知识
2.1调和级数的定义
给定一个数列对它的各项依次用“”号连接起来的表达式
（1）
该式称为常数项无穷级数(也常简称为级数),其中称为数项级数（1）的通项或一般项.
,这就是调和级数.
2.2数项级数收敛的定义
若数项级数的部分和数列收敛于(即)则称数项级数收敛,称为数项级数的和,记作
或.
若发散,则称级数发散REF_Re\r\h[4].
2.3证明调和级数发散性的相关引理
引理1REF_Re\r\h[4]数项级数收敛的充要条件是:任给正数,总存在正整数,使得当以及对任意的正整数,都有
.（2）
数项级数发散的充要条件是:存在某正数,对任何正整数,总存在正整数和,有
.（3）
引理2REF_Re\r\h[4]若函数满足如下条件:
（1）在闭区间上连续,
（2）在开区间上可导,
则在上至少存在一点,使得
.
引理3REF_Re\r\h[5]设有个正实数,记它们的算术平均值为,几何平均值为,调和平均值为.
关于这三个平均值,有以下重要不等式关系:
定理1个正数的调和平均