小升初经典奥数——盈亏问题
8种类型讲练测
本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！
三大板块：
经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。
巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。
综合测试——提升综合能力，累积考试经验。
朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！
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把一定数量的东西分给一定数量的人,往往会出现每人少分则有余(盈),每人多分则不足(亏);或者拿一定数量的钱去购买单价一定的物品,常常会出现少买则钱有剩余,多买则钱不够的情况。像这样根据盈亏来求未知量的问题叫做盈亏问题。
盈亏问题的基本解答规律是:两次分配的总差额-两次分配的差=份数。
“总差额”的三种情况是:
(1)一盈一亏:盈+亏=总差额
(2)一盈(亏)一正好:盈(亏)=总差额
(3)同盈同亏:大盈(亏)-小盈(号)=总差额
【一盈一亏求和】
若干个同学去划船，他们租了一些船，若每船4人则多5人,若每船5人则船上有4个空位。问:有多少个同学?多少条船?
【解析】
（1）盈：每船4人则多5人；
亏：每船5人则船上有4个空位，理解为：每船5人则少4人；
（2）两种坐船方式人数差额：每船相差5-4=1（人），总差额为5+4=9（人）；
（3）船的数量：9÷1=9（条）；
总人数：4×9+5=41（人）；
【详解】
船的条数：（5+4）÷（5-4）=9（条）
同学人数：4×9+5=41（个）
答：有41个同学，9条船。
1.学校给参加夏令营的同学租了几辆大轿车，若每辆车乘28人则有13名同学上不了车,若每辆车乘32人，则还有3个空座。问:有多少名同学?多少辆车?
2.全班同学去划船，如果减少一条船，那么每条船正好坐9人;如果增加一条船,那么每条船正好坐6人。问:全班有多少人?
3.有一批正方形的砖，排成一个大正方形，余下32块；如果将它们改排成每边比原来多一块砖的正方形，就要差49块。这批砖原有多少块？
【两盈两亏找差】
学校将一批铅笔奖给三好学生。若每人奖9支,则缺45支;若每人奖7支,则缺7支。问:三好学生有多少?铅笔有多少?
【解析】
（1）亏：每人奖9支,则缺45支；
亏：每人奖7支,则缺7支；
（2）分配奖品的数量差额：每人差额9-7=2（支），总差额45-7=38（支）；
（3）三好学生人数：38÷2=19（人）
铅笔总数量：19×9-45=126（支）
【详解】
(45-7)÷(9-7)=19(人)
19×9-45=126(支)
答:三好学生有19人,铅笔有126支。
【总结】同盈(亏)的盈亏问题中,总人数(份数)=[大盈(号)-小盈(亏)]÷分配差。
1.有一堆梨要装人若干个箱子里。如果每个箱子装35个,则还缺25个;如果每个子装40个,则还缺50个。问一共有多少个箱子?有多少个梨?
2.盒子里有若干支铅笔。取相同的次数,如果每次取9支,则剩下28支;如果每次取11支,则剩10支。盒子里有多少支铅笔?
3.吉林大道部分路段亮化改造。工人师傅如果每天修路260米,修完全长就得延长天;如果每天修路300米,修完全长得延长4天。这段路有多长?
【消元解盈亏】
小朋友分一些糕点和糖果,其中糕点是糖果的2倍。每人分5块糖果和9块糕点时,糖果刚好分完,还剩下8块糕点。问:有多少小朋友?糕点和糖果各有多少块?
【解析】
（1）倍数关系：糕点是糖果的2倍。则说明：糕点必须分出糖果数量的2倍时，则糖果和糕点恰好同时分完；
（2）实际分配方式：糖果5块，糕点9块；
同时分完方式应是：糖果5块，糕点10块；
（3）实际每次分配差额：糕点10-9=1（块）；
（4）总差额：8块。理解为：每人少分1块，则余8块；
（5）分配份数（小朋友数量）：8÷1=8（人）
（6）糖果:5×8=40(块)
糕点:40×2=80(块)
【详解】
8÷(5×2-9)=8(人)
糖果:5×8=40(块)
糕点:40×2=80(块)
答:小朋友有8人,糕点有80块，糖果有40块。
【总结】相同数量的人分配两种物品时,根据这两种物品间的倍数关系,先求出人数(份数),再求出总数。
(1)相同数量的人分配两种物品时,如果其中正好有一种物品被分完,根据这两种物品间的倍数关系,先求出人数(份数),再求出总数；
(2)相同数量的人分配两种物品时,如果两种物品都没有分完,通过这两种物品间的倍数关系,把分配两个物品转化成分配一种物品的盈亏问题,然后根据总差额和分配差求出参与分配的人数。
1.有若于个苹果和橘子,其中苹果的个数是橘子的3