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2024-2025学年湖北省汉阳一中、江夏一中、洪山高中高一下学期3月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(1,2)，b=(λ,?1)，c=(μ,?1)，若(a+
A.?2 B.?1 C.0 D.1
2.将函数fx=12sin2x?1的图像向右平移π6个单位长度后得到函数
A.?π3+kπ,π3+kπ，k∈Z B.π4+kπ,π2+kπ，
3.若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点
A.(2,2) B.(3,?1) C.(2,2)或(3,?1) D.(2,2)或(3,1)
4.定义：a×b=a?b?sinθ，其中θ为向量a与b的夹角.若a
A.63 B.?63 C.
5.设α∈0,π2,β∈0,π2
A.π4 B.π3 C.3π4
6.在?ABC中，BA?BC=12BC
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
7.已知|a|=2，|b|=3，则|
A.[4,213] B.[4,10] C.[6,2
8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边BC上的中线、高线、角平分线长分别是ma，?a，la，则下列结论中错误的是
A.ma=122(b2+
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列化简正确的是(????)
A.cos72°cos12°?sin
10.如图是函数fx=2sinωx+φω0,φ
A.函数fx的周期是π
B.点5π12,0是函数fx图象的一个对称中心
C.直线x=2025π4是函数fx图象的一条对称轴
11.如图，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于点D，E，设AB=c，BC=a，CA=b，∠ADE=θ，则(????)
A.△ABC的面积S=12b2sinAsinCsin
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在A层，小宁家位于小明家正上方的B层，已知AB=a.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为α，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为β，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离d=??????????．
13.已知a=x,2x,b=?3x,2，如果a与b的夹角为钝角，则
14.在边长为4的正方形ABCD中，AE=14AB,DF=FC，以F为圆心，1为半径作半圆与CD交于M，N两点，如图所示．点P为弧MN上任意一点，向量
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
化简下列各式：
(1)AB
(2)1
(3)sinα
16.(本小题15分)
?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2C+3
(1)求C；
(2)若c=23，?ABC的面积为23
17.(本小题15分)
如图所示，在?ABC中，AD是边BC边上中线，E为AD中点，过点E点直线交边AB，AC于M，N两点，设AB=λAM，AC=μAN，(M,N与点B
(1)证明：λ+μ为定值；
(2)求1λ+1+1μ+2的最小值，并求此时的λ
18.(本小题17分)
如图，正方形ABCD的边长为a(a1)，点W，E，F，M分别在边AB，BC，CD，DA上，EM/?/AB，WF//BC，EM与WF交于点N，EF=1，记∠FEC=x(0xπ
(1)记四边形ECFN的面积为x的函数f(x)，周长为x的函数g(x)，
(i)证明：g2
(ii)求g(x)的最大值；
(2)求四边形AMNW面积的最小值．
19.(本小题17分)
(1)借助两角和与差公式证明：sinα+
(2)当0αβπ2时，利用所给图形证明
参考答案
1.B?
2.D?
3.A?
4.A?
5.A?
6.B?
7.C?
8.D?
9.BD?
10.AB?
11.AD?
12.atan
13.?∞,?1
14.24?
15.(1)AB
(2)1
(3)
=
=
=sin
?
16.(1)由cos2C+3cosC=1
解得cosC=12或cosC=?2(舍
又C为?ABC内角，故C=π
(2)S?ABC=12
由余弦定理c2=a
解得a+b=6．
故?ABC的周长为a+b+c=6+2
?
17.(1)因为AD是边BC边上中线，，所以AD=
又E是AD的中点，AB=λ
所以AE=
因为E,M,N三点共线，所以λ4+
所以λ+μ=4，即λ+μ为定值；
(2)由(1)λ+μ=4?λ+1+μ+2=7
所以1
=1