第5章二次函数专题训练3二次函数中的线段与面积问题

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1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为E.点D在抛物线上，CD∥x轴，CD＝2.(1)求这条抛物线的表达式及顶点E的坐标；类型一线段问题

解：对于y＝x2＋bx－3，当x＝0时，y＝－3，∴点C的坐标为(0，－3)．∵CD∥x轴，CD＝2，∴点D的坐标为(2，－3)．将(2，－3)代入抛物线的表达式，得4＋2b－3＝－3，∴b＝－2.∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4.∴顶点E的坐标为(1，－4)．

解：设点Q(x，x2－2x－3)．由(1)可知抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－4)，∴易得HE＝x2－2x－3＋4，HQ＝|x－1|.∵HE＝3HQ，∴x2－2x－3＋4＝3|x－1|.(2)点Q是抛物线上一点，过点Q向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H，若HE＝3HQ，求点Q的坐标．

∴x2－5x＋4＝0或x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝4或x3＝1，x4＝－2.易知当x＝1时不符合题意，∴x＝4或x＝－2.当x＝4时，x2－2x－3＝5；当x＝－2时，x2－2x－3＝5，∴点Q的坐标为(－2，5)或(4，5)．返回

2.[2024连云港校级模拟]如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(－2，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点．(1)求抛物线对应的函数表达式；

解：当x＝0时，y＝6，∴C(0，6)．∴设直线BC的表达式为y＝kx＋6.将B(3，0)的坐标代入，得3k＋6＝0，解得k＝－2，∴直线BC的表达式为y＝－2x＋6.设P(t，－t2＋t＋6)(0＜t＜3)，则E(t，－2t＋6)，D(t，0)，(2)当点P在直线BC上方时，过点P作PD垂直于x轴于点D，交直线BC于点E.若2PE＝ED，求此时点P的坐标．

∴PE＝－t2＋t＋6＋2t－6＝－t2＋3t，ED＝－2t＋6.∵2PE＝ED，∴2(－t2＋3t)＝－2t＋6，解得t＝1或t＝3(舍去)．当t＝1时，－t2＋t＋6＝6，∴P(1，6)．返回

3.[2024南京栖霞区校级月考]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与坐标轴交于A，B，C三点，顶点为D，已知点B的坐标是(1，0)，OA＝OC＝3OB.(1)求二次函数的表达式；

解：∵点B的坐标是(1，0)，∴OB＝1.又∵OA＝OC＝3OB，∴OA＝OC＝3.∴A(－3，0)，C(0，3)．∴二次函数的表达式为y＝a(x＋3)(x－1)，把C(0，3)的坐标代入，得－3a＝3，解得a＝－1，∴二次函数的表达式为y＝－(x＋3)(x－1)＝－x2－2x＋3.

(2)如图，若E是线段AD上的一个动点(点E不与点A，D重合)，过点E作平行于y轴的直线交二次函数的图像于点F.求线段EF的最大值．

设E(t，2t＋6)(－3＜t＜－1)，则F(t，－t2－2t＋3)，∴EF＝－t2－2t＋3－(2t＋6)＝－t2－4t－3＝－(t＋2)2＋1.∵－1＜0，∴当t＝－2时，EF最大，最大值为1.返回

4.如图，二次函数y＝mx2＋(m2＋3)x－(6m＋9)的图像与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.连接AC，BC，已知B(3，0)．(1)求直线BC的表达式；类型二面积问题

解：将点B(3，0)的坐标代入y＝mx2＋(m2＋3)x－(6m＋9)，得9m＋3(m2＋3)－(6m＋9)＝0，解得m＝0(舍去)或m＝－1，∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x－3.当x＝0时，y＝－3，∴C(0，－3)．设直线BC的表达式为y＝kx－3，将B(3，0)的坐标代入，得3k－3＝0，解得k＝1，∴直线BC的表达式为y＝x－3.

解：当y＝0时，－x2＋4x－3＝0，解得x＝1或x＝3，∴A(1，0)．设P(x，－x2＋4x－3)．∵S△PBC＝S△ABC，∴点P，A到直线BC的距离相等．(2)P为抛物线上一点(异于A点)，若S△PBC＝S△ABC，求出点P的坐标．

当点P在过A点与BC平行的直线上时，设直线PA的表达式为y＝x＋n，将A(1，0)的坐标代入，得1＋n＝0，解得n＝－1，∴直线PA的表达式为y＝x－1.令x－1＝－x2＋4x－3，解得x＝1或x＝2，当x＝2时，x－1＝1.∴P(2，1)．易得△OBC为等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，∴易得点A关于BC的对称点为A′(3，－2)．

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5.

(1)求m，k的值；

解：如图，延长NP交y轴于点Q，交AB于点L.∵AC＝BC，∠BCA＝90°，∴∠BAC＝45°.∵PN∥x轴，x轴⊥y轴，∴∠BLN＝∠BAC＝45°，QN