第5章二次函数专题训练5二次函数与几何变换

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1.类型一平移

(1)求抛物线y1所对应的函数表达式；

(2)如图，将抛物线y1平移后得到顶点为B的抛物线y2，点P为抛物线y1上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线y2于点Q，过点Q作x轴的平行线，与抛物线y2交于另一点R.当以点P，Q，R为顶点的三角形与△ACD全等时，请直接写出点P的坐标．返回

解：∵抛物线W1有最低点，∴抛物线W1的开口向上，即a＞0.又∵y＝ax2－4ax－4＝a(x－2)2－4a－4，∴二次函数y＝ax2－4ax－4的最小值为－4a－4.2.[2024南通崇川区期中]已知抛物线W1：y＝ax2－4ax－4(a为常数，且a≠0)有最低点．(1)求二次函数y＝ax2－4ax－4的最小值(用含a的式子表示)；

(2)将抛物线W1向右平移a个单位长度得到抛物线W2.经过探究发现，随着a的变化，抛物线W2顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

解：∵抛物线W1：y＝a(x－2)2－4a－4，∴平移后的抛物线W2：y＝a(x－2－a)2－4a－4.∴抛物线W2的顶点坐标为(a＋2，－4a－4)．∴x＝a＋2，y＝－4a－4.∴4x＋y＝4a＋8－4a－4＝4，即4x＋y＝4，变形得y＝－4x＋4.∵a＞0，x＝a＋2，∴x＞2.∴y与x的函数关系式为y＝－4x＋4(x＞2)．

解：对于y＝－4x＋4(x＞2)，当x＝2时，y＝－8＋4＝－4(H取不到点(2，－4))；当x＝4时，y＝－16＋4＝－12，∴H过点(4，－12)，记此点为B.(3)记(2)所求的函数图像为H，抛物线W1与H交于点P，设点P的纵坐标为n，结合图像，求n的取值范围．

对于y＝a(x－2)2－4a－4，当x＝2时，y＝－4a－4＜－4；当x＝4时，y＝4a－4a－4＝－4，∴抛物线W1恒过点(4，－4)，记此点为A.在同一个坐标系中作出抛物线W1和H如图，由图可知yB＜yP＜yA，∴n的取值范围为－12＜n＜－4.返回

y＝－x2＋3x＋43.[2024宜兴期末改编]在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点．(1)抛物线的表达式为_________________；类型二翻折

【点拨】

(2)过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，连接PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，点M的坐标为____________________________．

【点拨】由折叠可知CM＝CM′，∠M′CP＝∠PCM.∵M′在y轴上，∴CM′∥PM，∴∠CPM＝∠M′CP，∴∠PCM＝∠CPM，∴MP＝CM.当x＝0时，y＝4，∴C(0，4)．∴易得直线BC的表达式为y＝－x＋4.

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4.[2024宿迁宿城区期中]如图，已知直线y＝2x＋2与抛物线y＝ax2＋bx＋c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3，0)在抛物线上．

(1)求该抛物线的表达式；

(2)正方形OPDE的顶点O为直角坐标系的原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标；

解：∵B(0，2)，C(3，0)，∴OB＝2，OC＝3.若△AOB和△DPC全等，且∠AOB＝∠DPC＝90°，分两种情况讨论：①△AOB≌△DPC，则PC＝OB＝2.∵OC＝3，∴OP＝3－2＝1，∴点P的坐标为(1，0)．②△AOB≌△CPD，则PD＝OB＝2，∴正方形OPDE的边长为2，∴点P的坐标为(2，0)．综上，点P的坐标为(1，0)或(2，0)．

解：当点P的坐标为(1，0)时，如图①，则PD＝OP＝1.∵△PQD′与△PQD关于PQ对称，∴PD′＝PD＝1，又∵点Q是线段CD上的动点，∴点D′在以点P为圆心，1为半径的半圆上运动．(3)在(2)的条件下，点Q是线段CD上的动点(点Q不与点D重合)，将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD′，连接AD′，求AD′长度的取值范围．

当点P的坐标为(2，0)时，如图②，则OP＝PD＝2，∴AP＝3.∵△PQD′与△PQD关于PQ对称，∴PD′＝PD＝2.又∵点Q是线段CD上的动点，∴点D′在以点P为圆心，2为半径的半圆上运动，易得当点Q与点C重合时，AD′长度取得最小值，此时D′(2，－2)，

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5.[2024常州武进区校级模拟]如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的表达式；类型三旋转

解：由题意得抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)，则y＝a