第5章二次函数专题训练4二次函数中的存在性问题

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1.(1)求抛物线的表达式，并求出点A，C的坐标．类型一存在特殊三角形

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．返回

解：由题意得抛物线的表达式为y＝a(x＋3)(x－1)，则y＝a(x2＋2x－3)＝ax2＋2ax－3a＝ax2＋bx－3，∴－3a＝－3，解得a＝1.∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3.2.[2024达州]如图①，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式．

(2)如图②，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标．

解：由抛物线的表达式知，点C(0，－3)，D(－1，－4)，抛物线的对称轴为直线x＝－1，如图，过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在y轴上点C上方取点L，使CL＝2CG，过点L作直线l∥AC，直线l与抛物线的交点即为所求的点P.由点A，C的坐标，易得直线AC的表达式为y＝－x－3.∵DG∥AC，∴设直线DG的表达式为y＝－x＋m，

将D(－1，－4)的坐标代入，得m＝－5，∴直线DG的表达式为y＝－x－5.令x＝0，则y＝－5，∴点G(0，－5)．∴CG＝－3－(－5)＝2.∴CL＝4，∴L(0，1)，∴易得直线l表达式为y＝－x＋1，令x2＋2x－3＝－x＋1，解得x1＝1，x2＝－4，∴易得点P的坐标为(1，0)或(－4，5)．

(3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．返回

3.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A，C的坐标分别为(－6，0)，(0，6)，对称轴为直线x＝－2，与x轴交于点E，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式．

(2)M为抛物线对称轴上一点，是否存在以B，C，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图①，以点C为圆心，BC的长为半径画圆，与对称轴的交点为点M1，M2，此时CM1＝CM2＝CB，易知B，C，M1三点共线，∴此点舍去；易知点M2与点E重合，∴点M2的坐标为(－2，0)．

如图③，作线段BC的垂直平分线，与BC交于点P，与y轴交于点Q，与对称轴的交点即为所求点M，此时MB＝MC，△BCM为等腰三角形，连接QB.∵PQ为线段BC的垂直平分线，∴QB＝QC，点P为BC的中点．∵B(2，0)，C(0，6)，∴由中点坐标公式得点P(1，3)．设OQ＝x，则QB＝QC＝6－x，在Rt△OBQ中，由勾股定理得22＋x2＝(6－x)2，

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4.如图，已知抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的表达式．类型二存在特殊四边形

解：存在以点B，C，M，N为顶点，且以BC为边的矩形，点M的坐标为(4，1)或(－5，－2)．(2)若点N是抛物线上一动点(不与点A，B，C重合)，点M是平面内一点，是否存在以点B，C，M，N为顶点，且以BC为边的矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．返回

5.[2024泸州]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3，0)，与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称．(1)求该抛物线的表达式．

解：∵抛物线的开口向下，∴抛物线上的点到对称轴(直线x＝1)的距离越远，函数值越小．当－1≤x≤t时，0≤y≤2t－1，分情况讨论：①若－1≤t≤1，则当x＝t时，函数有最大值，即2t－1＝－t2＋2t＋3，解得t＝－2或t＝2，均不符合题意，舍去；(2)当－1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t－1，求t的值．

(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．

解：存在．∴当x＝0时，y＝3，∴B(0，3)．设直线AB的表达式为y＝kx＋3，把A(3，0)的坐标代入，得k＝－1，∴直线AB的表达式为y＝－x＋3.连接BC.设C(m，－m2＋2m＋3)(0m3)，则D(m，－m＋3)，

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6.[2024连云港一模]如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，它的对称轴直线x＝1交抛物线于点M，过点M作MC⊥