课时拔尖1图形的旋转

1．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，连接EF.若∠BAE＝α，则∠FEC的度数是()A．45°－αB．2αC．90°－αD．90°－2αB

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点C，A在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，得到点P1，点P1在直线l上；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，得到点P2，点P2在直线l上；…，按照此规律继续旋转，则AP2024的长为________．8097

【点拨】∵在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，得到点P1，则AP1＝5；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，得到点P2，则AP2＝5＋4＝9；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，得到点P3，则AP3＝5＋4＋3＝12；….∵2024÷3＝674……2，∴AP2024＝674×12＋5＋4＝8097.

3．[2024·芜湖第二十九中模拟]如图①，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠MAN＝45°，连接MN.

(1)求证：MN＝BM＋DN.下面提供解题思路，请填空：如图②，把△ADN绕点A顺时针旋转________°至△ABE，可使AD与AB重合．由∠EBC＝∠ABE＋∠ABC＝180°，知E，B，C三点共线，从而可证△AEM≌________，从而得MN＝BM＋DN.90△ANM

(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时(M，N分别在CB，DC的延长线上)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．

【解】DN－BM＝MN.证明：如图①，在DN上截取DQ＝BM，连接AQ，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABM＝∠BAD＝90°，∴△ADQ≌△ABM,∴∠DAQ＝∠BAM，AM＝AQ，∴∠DAQ＋∠BAQ＝∠BAM＋∠BAQ，∴∠MAQ＝∠BAD＝90°.

∵∠MAN＝45°，∴∠QAN＝45°＝∠MAN.又∵AN＝AN,∴△MAN≌△QAN,∴QN＝MN.∵DN－DQ＝QN，∴DN－BM＝MN.

(3)如图④，四边形ABCD不是正方形，但满足AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠MAN＝45°，若BC＝7，DC＝13，CN＝5，求BM的长．

【解】如图②，在DN上取点P，使PD＝BM，连接AP，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠ADC＋∠ABC＝360°－90°－90°＝180°.∵∠ABM＋∠ABC＝180°，∴∠ABM＝∠ADP.

又∵AB＝AD，BM＝DP，∴△ADP≌△ABM，∴∠DAP＝∠BAM，AP＝AM，∴∠DAP＋∠BAP＝∠BAM＋∠BAP，∴∠DAB＝∠PAM＝90°.∵∠MAN＝45°，∴∠PAN＝45°＝∠MAN.又∵AN＝AN，∴△APN≌△AMN，∴MN＝PN.

设BM＝PD＝x，∵BC＝7，DC＝13，CN＝5，∴MN＝PN＝CN＋CD－PD＝18－x，CM＝BM＋BC＝x＋7.在Rt△MCN中，CM2＋CN2＝MN2，∴(x＋7)2＋52＝(18－x)2，解得x＝5，∴BM＝5.