课时拔尖2中心对称和中心对称图形

1．[2024·合肥第四十八中学模拟]如图，在?ABFE中，AB＝4，AE＝2，点E在⊙A上，O是?ABFE的对称中心，O′是正方形ABCD的对称中心，若OO′＝d，则d的取值范围是______________．1≤d≤3

2．如图，△AOD和△COB关于点O成中心对称，∠AOD＝60°，∠ADO＝90°，BD＝18，点P是AO上一动点，点Q是CO上一动点(点P，Q不与端点重合)，且AP＝OQ.连接BQ，DP，则DP＋BQ的最小值为________．18

【点拨】∵△AOD和△COB关于点O成中心对称，∴OB＝OD.∵∠AOD＝60°，∠ADO＝90°，∴∠OAD＝30°，∴OA＝2OD＝BD＝18.∵AP＝OQ，∴PQ＝OP＋OQ＝OP＋AP＝OA＝18.如图，过点D作DK∥PQ，且DK＝PQ＝18，连接QK，BK，

则四边形DPQK是平行四边形，∠BDK＝∠AOD＝60°，∴QK＝DP，∴DP＋BQ＝QK＋BQ≥BK，当B，Q，K三点共线时取等号，此时DP＋BQ的值最小，最小值为BK的长.∵∠BDK＝60°，DK＝BD＝18.∴△BDK为等边三角形，∴BK＝BD＝18，即DP＋BQ的最小值为18.

3．如图，△ABC是等边三角形，BC边在直线l上，动点O在直线l上(O不与点B重合)．按下列要求作图并解答问题．

操作探究1：在图①中作出与△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1，连接AB1，A1B，则四边形ABA1B1的形状是__________．【解】作图如图所示.平行四边形

【解】四边形ABA1B1是矩形．理由如下：∵△ABC和△A1B1C1关于点O成中心对称，∴AB＝A1B1，∠ABO＝∠A1B1O.∴AB∥A1B1，∴四边形ABA1B1是平行四边形.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.

操作探究3：若△ABC是任意三角形，且点A在直线l的上方，动点O在直线l上(O不与点B重合)，在图③中已作出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1的一个参考图形，连接AB1，A1B，当∠ABC与∠C1BA1满足什么关系时，四边形ABA1B1是正方形？直接写出答案．