课时拔尖9圆周角和直径的关系

C

2.如图，AC是⊙O的弦，AC＝4，B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若M，N分别为AC，BC的中点．

(1)MN的最大值为________；

(2)△ABC面积的最大值为________．

3.问题提出：如图①，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AB上一点，连接CD，为探究AD2，BD2，CD2之间的数量关系，刘星同学思考后，提出以下解决方法．

探究解决：将图①中的CD绕着点C按顺时针方向旋转90°得到CE，连接DE，AE，如图②，请解决以下问题：

(1)求证：△ACE≌△BCD；【证明】由旋转的性质得CD＝CE，∠DCE＝∠ACE＋∠ACD＝90°.又∵∠ACB＝90°，即∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠ACE.又∵AC＝BC，CE＝CD，∴△ACE≌△BCD.

(2)求证：∠DAE＝90°；【证明】∵△ACE≌△BCD，∴∠CBD＝∠CAE.∵∠ACB＝90°，∴∠CBD＋∠BAC＝90°.∴∠CAE＋∠BAC＝90°.∴∠DAE＝90°.

(3)猜想AD2，BD2，CD2之间的数量关系，并给予证明；【解】AD2＋BD2＝2CD2.证明如下：由(2)知∠DAE＝90°，∴AD2＋AE2＝DE2.∵∠DCE＝90°，CD＝CE，∴2CD2＝DE2.∴AD2＋AE2＝2CD2.∵△ACE≌△BCD，∴AE＝BD.∴AD2＋BD2＝2CD2.