2025年九年级中考数学二轮复习专题之整体思想训练
1．【教材呈现】以下是湘教版七年级上册数学教材126页的部分内容．
例1已知a+b＝5，求（a+b）2﹣4（a+b）的值．
分析：将a+b看作一个整体，则问题就可迎刃而解了．
解：（a+b）2﹣4（a+b）＝52﹣4×5＝5．
“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在数与式、方程与不等式等方面都有广泛的应用．
【解决问题】（1）已知（x﹣y）2＝5，求2（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2的值；
（2）已知a2﹣2b＝4，求3a2﹣6b﹣21的值；
（3）当x＝1时，代数式mx2+nx+1的值是2025，当x＝﹣1时，求代数式﹣mx2+nx+1的值．
2．【阅读理解】
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知3x+2y+z=4①7x+4y+3z=10②，求2x+y+z
解：②﹣①得：4x+2y+2z＝6③
③×12得：2x+y+
所以2x+y+z的值为3．
【类比迁移】
（1）已知x+2y+3z=105x+6y+7z=26，求3x+4y+5z
【实际应用】
（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？
3．已知x2+x﹣2＝0，求代数式(1
4．已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy．
（1）化简2A﹣3B；
（2）当x+y=67，xy＝﹣1，求2A﹣3
（3）若2A﹣3B的值与y的取值无关，求2A﹣3B的值．
5．阅读下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．
解：∵a2＝3﹣a，
∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12，
∵a2+a＝3，∴﹣（a2+a）+12＝﹣3+12＝9∴a2（a+4）＝9．
根据上述材料的做法，完成下列各小题：
（1）已知a2﹣a﹣10＝0，求2（a+4）（a﹣5）的值；
（2）已知x2﹣x﹣1＝0，求x3﹣2x+1的值；
（3）已知x2+4x﹣1＝0，求代数值2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．
6．数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要，例如：已知，a2+2a＝1，则代数式2a2+4a+4＝2（a2+2a）+4＝2×1+4＝6．请你根据以上材料解答以下问题：
（1）若x2﹣3x＝4，则1+2（x2﹣3x）＝；
（2）若代数式x2+x+2的值为10，求代数式﹣3x2﹣3x+5的值．
（3）当x＝2时，ax2+bx+7的值为9，当x＝﹣2时，求代数式﹣ax2+bx+8的值．
【拓展探索】
（4）把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，已知a+b＝24，a﹣b＝8，请观察图形，求图②中的阴影部分面积．
7．[阅读感悟]
一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x，y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
[解决问题]
（1）已知二元一次方程组3x+y=4x+3y=12，则x﹣y＝，x+y＝
（2）某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买20支铅笔、20块橡皮、20本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算：x※y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知1※4＝16，1※5＝21，求1※1的值．
8．先化简，再求值：(x?3xx+1)÷x?2x2+2x+1，其中
9．特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：
已知：a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0＝6x，则：
（1）取x＝0时，直接可以得到a0＝0；
（2）取x＝1时，可以得到a4+a3+a2+a1+a0＝6；
（3）取x＝﹣1时，可以得到a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝﹣6．
（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到2a4+2a2+2a0＝0，结合（1）a0＝0的结论，从而得出a4+a2＝0．
请类比上例，解决下