基本信息

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文档摘要

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一、方向导数的定义

二、梯度的概念

三、小结

一、方向导数的定义

1、定义

讨论函数z=f(x,y)在一点P沿某一方向的变化率问题

函数的增量与两点间的距离的比值，当沿着l趋于P时，若极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在P点沿方向l的方向导数，记为

函数f(x,y)在点P沿着x轴正方向、y轴正方向的方向导数分别为fx，fy；

沿着x轴负方向、y轴负方向的方向导数分别为-fx，-fy.

2、方向导数的计算公式

定理如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分的，则函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在，且有

其中cosα,cosβ是方向l的方向余弦.

解

三元函数方向导数的定义

设三元函数u=f(x,y,z)，在点P(x,y,z)沿着方向l的方向导数，可定义为

方向导数计算公式

设方向l的方向角为

定理：当函数u在此点可微时，则函数u在该点沿任意方向l的方向导数都存在，且有

二、梯度的概念

问题：函数在P点沿哪个方向增加的速度最快？

定义：设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可定义一个向量(fx,fy)

这个向量称为函数z=f(x,y)在P(x,y)的梯度，记为

el=(cosα,cosβ)是方向l上的单位向量，即l的方向余弦.

当梯度gradf与el是夹角为0时，

有最大值.

结论

函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为

类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与

取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的

最大值.

梯度的概念可以推广到三元函数

解

由梯度计算公式得

故

1、方向导数的概念

2、梯度的概念

3、方向导数与梯度的关系

（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）

（注意梯度是一个向量）

三、小结