6.3.5平面向量数量积的坐标表示
第1课时平面向量数量积的坐标表示(1)
【学习目标】
1.理解平面向量数量积的坐标表示.
2.会进行平面向量数量积的坐标运算.
3.能用平面向量数量积的坐标运算解决向量的模、夹角、垂直问题.
【素养达成】
数学抽象
数学运算
逻辑推理
一、平面向量数量积的坐标表示
条件
向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)
坐标
表示
a·b=x1x2+y1y2
文字
叙述
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
二、平面向量性质的坐标表示
1.模长公式:
若a=(x,y),则|a|=x2
若a=且A(x1,y1),B(x2,y2),
则a=(x2x1,y2y1),
则|a|=(x
2.垂直的充要条件:
设a,b是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1x2+y1y2=0.
3.夹角公式:
设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,则cosθ=a·b|
【明辨是非】
(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1y2x2y1=0.(×)
提示:a⊥b?x1x2+y1y2=0.
(2)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ0,则两向量的夹角θ一定是锐角.(×)
提示:当θ=0时,cosθ0.
(3)若a=(x,y),则|a|=x2+y
提示:根据向量模长的坐标表示可知正确.
(4)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足x1y2x2y1=0,则向量a与b的夹角为0°.(×)
提示:当x1y2x2y1=0时,a∥b,向量a与b的夹角为0°或180°.
类型一向量数量积的坐标运算(数学运算)
【典例1】(1)(教材提升·例11)已知向量a=(1,3),b=(2,1),则(a+b)·(2ab)=()
A.10 B.18
C.(7,8) D.(4,14)
【解析】选A.因为向量a=(1,3),b=(2,1),
所以(a+b)·(2ab)=(1,2)·(4,7)=1×4+2×7=10.
(2)(2024·焦作高一检测)在平行四边形ABCD中,AD=2AB=2,BD⊥DC,点M为线段CD的中点,则·=______________.?
【分析】建立平面直角坐标系,利用坐标运算求向量的数量积.
答案:15
【解析】由BD⊥DC,以D为原点,DC所在直线为x轴,DB所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,已知AD=2AB=2,则BD=AD2-AB2=4-1=3,有M12,0,B(0,3),A(1,3),=32,3,=12,3,·=34+3=
【总结升华】
平面向量数量积运算的方法
(1)将各向量用坐标表示,直接计算;
(2)利用运算律将原式展开,再根据已知条件计算;
(3)对于以图形为背景的数量积问题,首先需要根据图形建立恰当的坐标系.
【即学即练】
(2024·邢台高一检测)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=BC=2,AD=1,点E在边AB上,且·=3,则BE=()
A.1 B.2 C.12 D.
【解析】选C.由题意,以B为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则C(2,0),D(1,2),设E(0,x),则=(2,x),=(1,2),则·=2+2x=3,解得x=12,即BE=12
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类型二向量模的坐标运算(数学运算)
【典例2】(1)(2024·天津高一检测)已知向量b=(3,1),则与b方向相反的单位向量是__________.?
答案:31010,10
【解析】向量b=(3,1),则与b方向相反的单位向量是b|b|=110(3,1)=310
(2)(2024·大连高一检测)已知向量a=(2,1),b=(3,1),则|a+b|=__________;向量a在向量b上的投影向量的坐标是__________.?
答案:532,12
【解析】由题意,a+b=(1,2),所以|a+b|=(-1)2+22=5,向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθb|b|=a·b
【总结升华】
向量模的坐标运算
(1)方法:求向量a=(x,y)的模一般转化为求模的平方,充分利用|a|2=a2=x2+y2;
(2)注意:结果要开方.
【即学即练】
(2024·天津高一检测)已知点A(1,2),B(2,5),C(3,2),D(4,3),则向量在上的投影向量坐标为________,投影向量的模为__________.?
答案:(2,2)22
【解析】由题意可得:=(1,3),=(1,1),则·=1×1+3×1=4,
||=12+12=2,向量在上的投影向量为(||co