湖南省常德市汉寿县第一中学2024?2025学年高二下学期2月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数在上可导，若，则（????）
A．9 B．12 C．6 D．3
2．中国古代五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙2名同学各自选两种书作为兴趣研读，则这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法（????）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
3．已知数列满足，且，，则（???????）
A． B． C． D．
4．已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（????）
A． B． C． D．
5．小甘同学计划在2024年高考后前往西南大学，北京师范大学，陕西师范大学，华东师范大学，华中师范大学，东北师范大学6所部属公费师范大学中随机选两所去参观，则西南大学恰好被选中的概率为（????）
A． B． C． D．
6．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序相邻，那么不同的发言顺序有（????）
A．168种 B．240种 C．264种 D．336种
7．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（????）
A． B． C． D．
8．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．四位小伙伴在玩一个“幸运大挑战”小游戏，有一枚幸运星在他们四个人之间随机进行传递，游戏规定：每个人得到幸运星之后随机传递给另外三个人中的任意一个人，这样就完成了一次传递．若游戏开始时幸运星在甲手上，记完成次传递后幸运星仍在甲手上的所有可能传递方案种数为，则（????）
A． B． C． D．
10．已知直线过点，则下列说法中正确的是（????）
A．若直线的斜率为2，则的方程为
B．若直线在轴上的截距为2，则的方程为
C．若直线的一个方向向量为，则的方程为
D．若直线与直线平行，则的方程为
11．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则（????）
A． B．
C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形
三、填空题（本大题共3小题）
12．若，则.
13．双曲线的右顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称，若直线，的斜率之积为，则C的离心率为.
14．已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．则a的取值范围为．（结果用区间表示）
四、解答题（本大题共5小题）
15．在正项等比数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的最大项．
16．如图，三棱柱中，侧棱底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，的中点．
(1)证明平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17．椭圆的左右焦点分别为，，其中，为原点．M是椭圆上任意一点，且．
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)过点的斜率为的直线交椭圆于两点．求的面积．
18．设函数.
(1)若是的极值点，求a的值，并求的单调区间；
(2)讨论的单调性；
(3)若，求的取值范围.
19．对于函数，我们无法直接求出它的零点，数学家牛顿用设切线的方法解决了这个问题.设函数的零点为，如果可以找到一步步逼近的，，，，，使得当时，，则可把看做函数的近似解，这个方法被称为“牛顿法”.具体步骤为：选取合适的，在横坐标为的点作的切线，切线与轴的交点的横坐标即，再用代替，重复上面的过程得到，如此循环计算出.我们知道在处的切线的斜率为，由此写出切线方程，因为，所以令得切线与轴交点的横坐标，同理得，，以此类推，可以得到.
(1)对于函数，当时，求，的值；
(2)已知函数的定义域R.
①对于函数，若为公差不为零的等差数列，求证：无零点；
②当时，运用“牛顿法”证明：
参考答案
1．【答案】B
【详解】由导数定义可知：
，
故.
故选：B.
2．【答案】B
【详解】由题意得甲、乙2名同学先选相同的书，有种选法，
然后从剩下的4本书中选2本，分给甲、乙2名同学，有种选，
所以由分步乘法原理可知共有种选法.
故选：B
3．【答案】A
【分析】
由已知递推关系可得数列是以为首项，2为公比的等比数列，得出，再利用累加法可得，即可求出.
【详解】
由可得，
若，则，与题中条件矛盾，故，
所以，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，
则
，
则.
故选：A.
【点睛】
关键点睛：本题考查等比数列的应用，解题的关键是得出为等比数列.
4．【答案】C
【详解】由