广东省湛江第一中学2023?2024学年高二下学期第二次月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．一列轻轨在某段时间内从中山北至广州南往返一次，其中站点有：广州南、北滘、顺德、容桂、小榄、东升、中山北，则高铁部门应为这七个站间准备不同的轻轨票种数为（????）
A．21种 B．30种 C．36种 D．42种
2．的展开式中，常数项为（????）
A． B． C．15 D．20
3．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则（????）
A． B． C． D．
4．英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件A，B，（A的对立事件）存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（????）
A．0.01 B．0.0099 C．0.1089 D．0.1
5．在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为（????）
A．1600 B．1800 C．2100 D．2400
6．甲同学参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行，已知在备选的8道试题中，甲能答对其中的4道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出4道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（????）
A． B． C． D．
7．甲、乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛甲胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用4局3胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为（????）
A． B． C． D．
8．对任意，不等式恒成立，则正数a的最大值为（????）
A． B． C． D．e
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知等差数列，其前n项和为，则下列说法正确的是（????）
A． B．
C．的最小值为6 D．数列是公比为2的等比数列
10．已知，随机变量的分布列如下表所示，若，则下列结论中不可能成立的是（????）
A． B． C． D．
11．已知函数，若有6个不同的零点分别为，且，则下列说法正确的是（????）
A．当时，
B．的取值范围为
C．当时，的取值范围为
D．当时，的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．对任意实数，有，则的值为.
13．有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为.
14．某批零件的尺寸服从正态分布，且满足，零件的尺寸与8的误差不超过2即合格，从这批产品中抽取件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.8，则的最小值为.
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且．
(1)求角B的大小；
(2)若的面积为，求AC边上的中线长．
16．如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，与相交于点E，点F在线段上，且.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值.
17．在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于90分为优秀．
(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；
(2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望．
18．已知双曲线的离心率为，左、右顶点分别为，直线与双曲线分别交于两点，当时，.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设的斜率分别为，当且时，求和的值.
19．已知函数，（其中是自然对数的底数，）.
(1)若函数在处取得极值，求函数的单调区间；
(2)若函数和均存在极值点，且函数的极值点均大于的极值点，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【分析】利用排列可求