五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》
教案
课题
18.1.1椭圆的定义及其标准方程
授课时间
学习目标
1.掌握椭圆的定义及其标准方程，根据条件求椭圆的标准方程.
2.通过对椭圆方程的探求，培养学生分析、观察以及探索发现能力,体会数形结合的思想方法.
教学重点
根据条件求椭圆的标准方程
教学难点
椭圆标准方程的推导与化简
教学准备
PPT
教学过程
教学内容
一、问题探究
二、抽象概括
教师活动
一、问题探究
取一条定长的细绳，把它的两端拉紧都固定在平板的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在圆板的两处（如图18-1），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个扁圆.笔尖在移动过程中到两固定点的距离和与绳子的长度有什么关系？
.
显然，笔尖在移动过程中到两固定点的距离和与绳子的长度相等。
二、抽象概括
一般地，把平面内到两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆，这两个定点，称为椭圆的焦点，两焦点之间的距离称为椭圆的焦距.
观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.因此，
取过椭圆的两个焦点和的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系xOy（如图18-2）
学生活动
讨论并总结，抽象出椭圆定义
理解椭圆、椭圆的焦点和焦距的定义
思考如何建立坐标系
教学过程
教学内容
教师活动
学生活动
设，则焦点坐标为和
图18-2yxF1··F2Mm
图18-2
y
x
F1
·
·
F2
Mm
·
O
由两点间距离公式，得
，
移项得
，
两边平方得
，
整理得
，
两边平方得
，
整理得
，
由椭圆的定义知，，即，不妨令（）,则上式化为
两边同时除以，得
.①
显然，椭圆上任意一点的坐标满足方程①.同时，以方程①的解为坐标的点到椭圆的两个焦点F1和F2
方程称为焦点在轴上的椭圆的标准方程，其中焦点坐标为，，且.
理解把几何问题转化为代数问题从而使几何问题可以通过代数运算来解决
掌握建系，设点，列式，化简等过程，得到焦点在x轴的椭圆的标准方程
掌握焦点在x轴椭圆标准方程
教学过程
教学内容
教师活动
学生活动
三、例题讲析
四、思维拓展
五、课内练习
三、例题讲析
例1已知椭圆的焦点坐标为F1-3，0和
例2求下列椭圆的焦点坐标和焦距.
（1）；（2）
四、思维拓展
1.在方程中，若a=b，方程表示什么图形？
2.平面内到两个定点，的距离之和等于的点的轨迹是什么？
五、课内练习
1.已知椭圆的焦点坐标为，，求椭圆的标准方程.
2.求下列椭圆的焦点坐标和焦距.
（1）；（2）
通过例题巩固知识点
思考交流
对照例题的解题思路和解题格式，自行完成练习
教学过程
教学内容
教师活动
学生活动
六、问题探究
七、合作交流
八、例题讲析
九、思维拓展
十、课内练习
六、问题探究
若以经过椭圆两焦点，的直线为y轴，线段的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系xOy（如图18-3），则椭圆的方程是什么？
图18-3如图18-3，椭圆的焦点在轴上，焦点，的坐标分别为，，设是椭圆上任意一点，由，令，可推导出椭圆的焦点在轴上的方程为.
图18-3
方程是焦点在轴上椭圆的标准方程.其中，，，的关系仍为.
七、合作交流
焦点在x轴上与y轴上的两种形式椭圆的标准方程有何异同？
八、例题讲析
例3已知椭圆的焦点坐标为，，求椭圆的标准方程.
例4求下列椭圆的焦点坐标和焦距.
（1）；（2）
例5已知方程表示焦点在轴上的椭圆，求k的取值范围.
九、思维拓展
已知方程表示椭圆，求实数k的取值范围
十、课内练习
1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程.
（1）焦点在轴上；
学生独立完成推导焦点在y轴的椭圆的标准方程。
对两种类型的椭圆方程比较
在教师引导下思考主动求解。掌握规范的解题格式
思考
教学过程
教学内容
教师活动
学生活动
十一、课堂小结
（2），焦点在轴上；
（3），经过点，焦点在轴上.
2.求下列椭圆的焦点坐标和焦距.
（1）；（2）.
3.已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围.
十一、课堂小结
1椭圆的定义
2椭圆的标准方程
3判断双曲线焦点坐标位置的方法
对照例题的解题思路和解题格式，自行完成练习
回顾总结
课后作业
教后记