吉林省四平市实验中学2024?2025学年高二下学期期初考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（????）
A． B．
C． D．
2．已知离散型随机变量服从二项分布，且，则
A． B． C． D．
3．已知直线在轴与轴上的截距相等，则实数的值是（???????）
A．1 B．﹣1 C．﹣2或1 D．2或1
4．将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（????）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的渐近线过点，则（????）
A． B． C． D．
6．已知圆，圆，、分别是圆、上动点，是轴上动点，则的最大值是（）
A． B．
C． D．
7．在的展开式中，含的项的系数为（????）
A． B． C． D．
8．某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲,乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲,乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲,乙两人每局获胜的概率分别为,，且满足，每局之间相互独立.记甲,乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲,乙两人训练的轮数至少为（????）
A．27 B．24 C．32 D．28
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列结论正确的有（????）
A．若随机变量满足，则
B．若随机变量，且；则
C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05
D．若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点
10．设，则下列说法正确的是（????）
A． B．
C． D．展开式中二项式系数最大的项是第5项
11．已知椭圆的焦点分别为，，焦距为2c，过的直线与椭圆C交于A，B两点.，，若的周长为20，则经过点的直线（????）
A．与椭圆C可能相交 B．与椭圆C可能相切
C．与椭圆C可能相离 D．与椭圆C不可能相切
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知数列中，，，则.
13．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为.
14．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知直线与直线.
(1)当时，求的值．
(2)当时，求与之间的距离．
16．某城市为了加快“两型社会”（资源节约型，环境友好型）的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时.
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列.
17．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．
(1)求证平面；
(2)求平面与平面的夹角余弦值；
(3)求点到平面的距离．
18．随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，年的考研人数是万人，年考研人数是万人.某省统计了该省其中四所大学年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
A大学
B大学
C大学
D大学
年毕业人数（千人）
年考研人数（千人）
(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放万元的补贴.
（i）若该省大学年毕业生人数为千人，估计该省要发放多少万元的补贴？
（ii）若A大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为p、2p－1，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过万元，求p的取值范围.
参考公式：，.
19．已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为.
(1)求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程;
(2)如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围;
(3)当时，直线交椭圆于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点，求的面积.
参考答案
1．【答案】C
【详解】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项