用變分法解最優控制
—泛函極值問題
在動態系統最優控制問題中，性能指標是一個泛函，性能指標最優即泛函達到極值。解決泛函極值問題的有力工具是變分法。所以下麵就來列出變分法中的一些主要結果，大部分不加證明，但讀者可對照微分學中的結果來理解。
3.1變分法基礎如果對某一類函數中的每一個函數，有一個實數值與之相對應，則稱為依賴於函數的泛函，記為粗略來說，泛函是以函數為引數的函數。1、泛函：先來給出下麵的一些定義。
若對任給的，存在當時，就有則稱在處是連續的。2、泛函的連續性：
滿足下麵條件的泛函稱為線性泛函這裏是實數，和是函數空間中的函數。3、線性泛函：
4、引數函數的變分：引數函數的變分是指同屬於函數類中兩個函數、之差這裏,t看作為參數。當為一維函數時，可用圖3-1來表示。
圖3-1引數函數的變分
這裏，是的線性泛函，若時，有，則稱是泛函的變分。是的線性主部。當引數函數有變分時，泛函的增量為5、泛函的變分：
6、泛函的極值：若存在，對滿足的 一切X， 具有同一符號，則稱在處有極值。
定理：在處有極值的必要條件是對於所有容許的增量函數（引數的變分），泛函在處的變分為零為了判別是極大還是極小，要計算二階變分。但在實際問題中根據問題的性質容易判別是極大還是極小，故一般不計算。
3.2無約束條件的泛函極值問題3.2.1泛函的引數函數為標量函數的情況為簡單起見，先討論引數函數為標量函數（一維）的情況。我們要尋求極值曲線，使下麵的性能泛函取極值（3-1）
於是泛函J的增量可計算如下（以下將*號省去）上式中是高階項。為此，讓引數函數、在極值曲線、附近發生微小變分、，即
根據定義，泛函的變分是的線性主部，即對上式第二項作分部積分，按公式可得（3-2）
J取極值的必要條件是等於零。因是任意的，要使（3-2）中第一項（積分項）為零，必有（3-3）上式稱為歐拉——拉格朗日方程。（3-2）式中第二項為零的條件要分兩種情況來討論：
1、固定端點的情況這時，它們不發生變化，所以。而（3-2）中第二項可寫成當時，（3-4）式自然為零。（3-4）
2、自由端點的情況這時和可以發生化，