*泛函分析初步
*§3.1線性空間線性空間：設W≠?（W為非空集合）(1)W中元對“+”構成交換群，即對?X,Y,Z?W,有ⅰ.ⅱ.ⅲ.ⅳ.ⅴ.
*§3.1線性空間(2)對?X,Y?W，?α,β?C（複數域）有：ⅵ.ⅶ.ⅷ.ⅸ.稱W為線性空間；若?α,β?C，則W為複線性空間；若α,β?R，則W為實線性空間。
*§3.1線性空間
*§3.1線性空間線性空間W上的算子L為線性算子零狀態線性系統?系統算子為線性算子
*§3.2線性子空間線性子空間：設?≠V?W，V是W的線性子空間直和：設
*§3.3距離空間（度量空間——MetricSpace）距離空間：設W≠?，稱W為距離空間，指在W中定義了映射：（包括0），?X,Y?W滿足以下三條公理：稱為W上的距離，為度量空間。
*§3.3距離空間例：例：
*§3.3距離空間例：
*§3.3距離空間－收斂收斂：定理：在中，每個收斂點列有唯一的極限點。
*§3.3距離空間－完備度量空間柯西序列——CauchySequence例：
*§3.3距離空間－完備度量空間中任意收斂序列是柯西序列中的柯西序列未必收斂到中例：
*§3.3距離空間－完備度量空間完備度量空間——CompleteMetricSpace稱為完備度量空間，指其中所有柯西序列都收斂。極限運算在完備時可行如何完備化？W不要求線性空間
*§3.4巴拿赫（Banach）空間
*§3.4.1賦範線性空間賦範線性空間：設W≠?是線性空間，若對?X?W，?‖X‖滿足： 稱為X的範數（Norm），定義了範數的線性空間稱為賦範線性空間，記為。
*§3.4.1賦範線性空間（廣義）長度的推廣：例1：
*§3.4.1賦範線性空間（廣義）長度的推廣：例2：
*§3.4.1賦範線性空間Minkowski不等式：
*§3.4.1賦範線性空間
*§3.4.1賦範線性空間例
*§3.4.1賦範線性空間強收斂：弱收斂：依泛函收斂。注：強收斂?弱收斂。
*§3.4.1賦範線性空間度量空間與賦範線性空間的關係：例
*§3.4.2.Banach空間Banach空間：完備的稱為Banach空間。是Banach空間。在中，取完備。
*§3.4.2.Banach空間定理：若H?lder不等式：證明思路：
*§3.5Hilbert空間
*§3.5.1內積空間內積：設W≠?為實或複線性空間，若對?X,Y,Z∈W,λ∈C，均有一個實數或複數與之對應，記為〈X,Y〉，滿足：則稱〈X,Y〉為X與Y的內積，定義了內積的空間為內積空間。
*§3.5.1內積空間注：例子：
*§3.5.1內積空間例子：
*§3.5.2Hilbert空間定義歐氏範數，則內積（線性）空間成為賦範線性空間。Hilbert空間：依歐氏範數完備的內積空間稱為Hilbert空間。有限維內積空間必完備：完備。完備，定義內積。H空間是能量有限信號的集合。
*§3.5.2Hilbert空間Cauchy-Schwarz不等式：W為內積空間，?X,Y∈W，有注：1.在H?lder不等式中，取，就成為Cauchy-Schwarz不等式。2.在空間中，有Cauchy不等式：3.在空間中，有Schwarz不等式：
*§3.5.3線性泛函算子—Operator：X,Y為線性空間，算子：其中，為定義域，為值域。
*§3.5.3線性泛函泛函—Functional：值域是實／複數域的算子為泛函。注：定積分，距離，範數，內積，函數（第三種定義），（普通）函數均為泛函。線性算子：X,Y為線性空間，，若對，有：則T為線性算子。
*§3.5.3線性泛函線性泛函：線性算子T的值域為實／複數集。距離、範數是泛函，但非線性泛函。連續線性算子T