2.3向量的内积
分层作业
基础巩固
基础巩固
1．在正方形中，向量与向量的夹角是．（用弧度制表示）
【答案】/
【分析】直接根据向量夹角的概念求解.
【详解】向量与向量的夹角是的补角，而，
故.
故答案为：.
??
2．已知、，夹角，求.
（1），，，；
（2），，，.
【答案】
【分析】根据向量数量积公式直接可得解.
【详解】（1），，，；
（2），，，；
故答案为：，.
3．已知向量与的夹角为，且，，则的值为.
【答案】
【分析】利用向量数量积的定义即可得解.
【详解】因为，，与的夹角为，
所以.
故答案为：.
4．已知向量，且两向量夹角为，则（????）
A．18 B．9 C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用数量积的定义计算即得.
【详解】依题意，.
故选：B
5．中，，，，（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数量积的定义计算即可.
【详解】依题意得，由于，则的夹角是，
则.
故选：B
6．设与为单位向量，且，则与的夹角为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由数量积公式结合向量夹角公式即可求解.
【详解】，，
.
故选：D.
能力进阶
能力进阶
1．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形中，向量与的夹角为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据正八边形形内角公式，以及向量夹角公式在，直接求解.
【详解】因为正八边形的内角和为，
所以与的夹角为．
故选：B
2．在中，，，，则等于（????）
A．12 B．6 C．－6 D．－12
【答案】B
【分析】由数量积的定义运算即可.
【详解】，
故选：B.
3．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（????）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据给定的图形，求出，再利用数量积的定义求解即得.
【详解】观察图形知，，所以.
故选：A
4．已知，，与的夹角是，则（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数量积定义即可计算.
【详解】由题意，.
故选：C
5．已知单位向量的夹角为，则（????）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据平面向量数量积的定义及运算律结合已知条件直接求解即可.
【详解】因为单位向量的夹角为，
所以
，
故选：A
6．已知单位向量的夹角为，则（????）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】根据数量积运算性质展开，结合数量积定义即可得解.
【详解】由题知，
所以.
故选：C
素养提升
素养提升
1．式子：①+=0??②??③=??④其中不正确的个数为（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据向量加减法、向量数乘法则以及向量数量积定义计算并判断选择.
【详解】因为,,,
所以都不正确
故选：D
2．在中，，，，则（????）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数量积的定义运算求解，注意向量的夹角的定义.
【详解】因为，，，则，
所以.
故选：D.
3．已知向量，则等于（????）．
A． B．6 C． D．18
【答案】C
【分析】由数量积定义直接运算.
【详解】因为向量，所以，且，则，
故选:C．
4．已知，，，则与的夹角（???）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的夹角公式直接求解即可.
【详解】因为，，，
所以，
因为，所以.
故选：B
5．已知向量满足，则的值为（????）
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】C
【分析】由题意，根据平面向量数量积的运算律即可求解.
【详解】由题意知，.
故选：C
6．已知平面向量，，，，且与的夹角为．
(1)求和的值；
(2)若与垂直，求λ的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由向量数量积的定义求出，再利用向量数量积的运算律计算；
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，求解即得.
【详解】（1）∵，，且与的夹角为，
∴,
故；
（2）∵与垂直，
∴，
即，解得：．