第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质12.3.1角的平分线的性质
1.经历探索角平分线性质定理的过程，体会几何直观，发展推理能力.2.从生活经验抽象出尺规作角平分线的过程，形成用数学的眼光观察现实世界的素养.
学习重点：探究角平分线的性质定理.学习难点：探究并掌握角平分线的性质定理.
请作出∠AOB的平分线OC.AOBC
在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？用量角器度量，也可用折纸的方法．知识点1角平分线的画法问题1：学生活动一【一起探究】
如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？问题2：
提炼图形
如图，是一个角平分仪，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.问题3：BDCEA
【思考】如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？ABO请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.做一做
提示(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分线.ABO
ABMNCO仔细观察步骤作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握噢!作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.半径小于MN或等于MN，可以吗？
已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分线.结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.ABOC
COBAOC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点.角平分线的性质知识点2学生活动二【一起探究】
1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，点D,E为垂足，测量PD,PE的长.将三次数据填入下表：2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结果：__________PDPE第一次第二次第三次COBAPD=PEpDE猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.PAOBCDE角的平分线上的点到角的两边的距离相等.验证猜想
PAOBCDE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.归纳总结
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：证明线段相等.BADOPEC
应用格式：∵OP是∠AOB的平分线，∴PD=PE推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.PD⊥OA，PE⊥OB，BADOPEC
判一判：（1）∵如下图，AD平分∠BAC（已知），∴=，在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC缺少“垂直距离”这一条件()
(2)∵如下图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）.∴=，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC缺少“角平分线”这一条件
如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，OD