重难点07函数的综合探究及应用（新函数问题、函数与几何结合问题、函数实际应用问题）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
了解和掌握新函数的图象和性质出题形式和考试方向；学会运用新函数的相关性质进行研究；了解和掌握含绝对值的新函数、分段函数及与函数结合的实际应用是本专题知识点的关键。新函数图象与性质的探究题型既考查学生对于函数图象与性质的理解，又考查学生对实际问题和几何图形的分析能力以及作图能力，新函数图象与性质的探究题大致可归纳为3种类型：(1)函数图象的变形；(2)实际情景中新函数图象与性质的探究；(3)与几何结合的新函数的图象与性质．本专题主要对新函数图象探究题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。
模型01新函数问题
考｜向｜预｜测
新函数问题该题型近年主要以解答题型出现，解决这类问题的关键是对初中阶段学习的一次函数、反比例函数、二次函数的定义图象和性质充分了解，然后结合几类函数的图形和性质特点进行演变分析。在所学函数的基础上构建新的函数形式，对对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用。答｜题｜技｜巧
1.观察新函数特点（表达式特点、图象特点），结合所学基本函数特征进行分析；
2.确定函数图象（注意列表、描点、）；
3.结合函数性质进行研究（对称性、增减性、最值）；
4.对对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用；
1．（2023·广西）中考新考法：注重过程性学习，某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：
…
1
2
3
…
…
3
4
6
1
…
??
(1)①与的几组对应值如下表，请补全表格；
②在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；
(2)我们知道，函数的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到的．类似地，请直接写出将的图象经过怎样的平移可以得到的图象；
(3)若一次函数的图象与函数的图象交于两点，连接，求的面积．
1．阅读下列材料，解答相应的问题：
研究函数的图象一般要研究其形状、位置、图象特征（如对称性）．借助图象我们可以直观地得到函数的性质．例如，在研究正比例函数的图象时，通过列表、描点、连线等步骤，得到如下结论：①的图象是经过原点的一条直线；②的图象经过坐标系的第一、三象限．小文借鉴研究正比例函数的经验，对新函数的图象展开探究，过程如下．
①根据函数表达式列表：
…
0
1
2
3
…
…
0
2
4
6
…
②在如图所示的坐标系中描点、连线，画出函数的图象．
??
(1)请你将小文列表、描点、连线的过程补充完整；
(2)请从A，B两题中任选一题作答，我选择题．
A．根据小文的探索过程，类比研究图象时得到的结论，写出函数图象的两个结论．
B．小文类比探索函数图象的过程，借助下面的平面直角坐标系，进一步研究函数（为常数，且）的图象．他从特殊到一般选取，，，…等具体情况，通过列表、描点、连线等步骤，画出它们的图象，并归纳出函数图象的一般结论，请你帮他总结得到的结论．（写出任意两条即可）
2．小明在积累了学习函数的经验之后，自主探究学习了一个新函数：．小明首先观察函数表达式，确定此函数的自变量的取值范围，之后列表求值，画出函数图象，研究函数的性质．请你协助小明完成下列问题：
（1）自变量的取值范围；
（2）列表求值．请你协助小明补全表格：
···
···
···
···
（3）请你画出函数的大致图象，并试着写出它的两条性质．性质：．
??
3．已知函数与函数定义新函数
（1）若则新函数；
（2）若新函数的解析式为则，；
（3）设新函数顶点为．
①当为何值时，有最大值，并求出最大值；
②求与的函数解析式；
（4）请你探究：函数与新函数分别经过定点，函数的顶点为，新函数上存在一点，使得以点为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出的值．
4．在初三阶段，我们要研究一个新函数：二次函数，在此前，我们研究过一次函数和反比例函数，那么如何研究一个新函数呢？现在做如下探究：
探究课题：探究函数的图象与性质．
方法1：运用已学关于根式，分式的知识．
（1）函数的自变量x的取值范围是；
方法2：列表法借助图像性质．
（2）下表是y与x的几组对应值．其中_____________
x
1
2
3
4
…
y
0
m
…
如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
方法3：分析图像的增减性：．
模型02函数与几何结合问题
考｜向｜预｜测
函数与几何结合问题主要是借助函数模型进行探究几何问题，对实际几何问题中抽象出对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用。该题型在考试中主要以解答题