重难点07函数的综合探究及应用（新函数问题、函数与几何结合问题、函数实际应用问题）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
了解和掌握新函数的图象和性质出题形式和考试方向；学会运用新函数的相关性质进行研究；了解和掌握含绝对值的新函数、分段函数及与函数结合的实际应用是本专题知识点的关键。新函数图象与性质的探究题型既考查学生对于函数图象与性质的理解，又考查学生对实际问题和几何图形的分析能力以及作图能力，新函数图象与性质的探究题大致可归纳为3种类型：(1)函数图象的变形；(2)实际情景中新函数图象与性质的探究；(3)与几何结合的新函数的图象与性质．本专题主要对新函数图象探究题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。
模型01新函数问题
考｜向｜预｜测
新函数问题该题型近年主要以解答题型出现，解决这类问题的关键是对初中阶段学习的一次函数、反比例函数、二次函数的定义图象和性质充分了解，然后结合几类函数的图形和性质特点进行演变分析。在所学函数的基础上构建新的函数形式，对对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用。答｜题｜技｜巧
1.观察新函数特点（表达式特点、图象特点），结合所学基本函数特征进行分析；
2.确定函数图象（注意列表、描点、）；
3.结合函数性质进行研究（对称性、增减性、最值）；
4.对对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用；
1．（2023·广西）中考新考法：注重过程性学习，某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：
…
1
2
3
…
…
3
4
6
1
…
??
(1)①与的几组对应值如下表，请补全表格；
②在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；
(2)我们知道，函数的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到的．类似地，请直接写出将的图象经过怎样的平移可以得到的图象；
(3)若一次函数的图象与函数的图象交于两点，连接，求的面积．
【答案】(1)见解析，
(2)向左平移1个单位，向上平移2个单位
(3)
【详解】（1）当时，，
补全表格为：
…
1
2
3
…
…
3
4
6
1
…
图象如下：
??
（2）的图象向左平移1个单位，向上平移2个单位可以得到的图象；
（3）一次函数的图象，如图，可知，
∴的面积为．
??
1．阅读下列材料，解答相应的问题：
研究函数的图象一般要研究其形状、位置、图象特征（如对称性）．借助图象我们可以直观地得到函数的性质．例如，在研究正比例函数的图象时，通过列表、描点、连线等步骤，得到如下结论：①的图象是经过原点的一条直线；②的图象经过坐标系的第一、三象限．小文借鉴研究正比例函数的经验，对新函数的图象展开探究，过程如下．
①根据函数表达式列表：
…
0
1
2
3
…
…
0
2
4
6
…
②在如图所示的坐标系中描点、连线，画出函数的图象．
??
(1)请你将小文列表、描点、连线的过程补充完整；
(2)请从A，B两题中任选一题作答，我选择题．
A．根据小文的探索过程，类比研究图象时得到的结论，写出函数图象的两个结论．
B．小文类比探索函数图象的过程，借助下面的平面直角坐标系，进一步研究函数（为常数，且）的图象．他从特殊到一般选取，，，…等具体情况，通过列表、描点、连线等步骤，画出它们的图象，并归纳出函数图象的一般结论，请你帮他总结得到的结论．（写出任意两条即可）
【答案】(1)见解析
(2)A，的图象是以原点为公共端点的两条射线；的图象经过坐标系的第一、二象限
B,见解析
【分析】（1）本题考查函数图像上上点问题及作函数图像，将，，，代入求解，描点连线即可得到答案；
（2）本题考查函数的性质及作函数图像，A：根据（1）中的图像直接找到函数规律即可得到答案；B．作出图像，根据图像找到规律即可得到答案；
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
当时，，
故表中依次填入：6，4，2，
…
0
1
2
3
…
…
6
4
2
0
2
4
6
…
描点，连线如图所示，
??
（2）解：A：由（1）得，
①的图象是以原点为公共端点的两条射线；
②的图象经过坐标系的第一、二象限；
③的图象关于轴对称；
④的图象的最低点是；
B:由题意可得，列表、描点、连线如图所示，
…
0
1
2
3
…
9
6
3
0
3
6
9
6
4
2
0
2
4
6
1
0
1
??
①的图象是以原点为公共端点的两条射线；
②的图象经过坐标系的第一、二象限；
③的图象关于轴对称；
④的图象的最低点是；
⑤的绝对值越大，的图象越靠近轴．
2．小明在积累了学习函数的经验之后，自主探究学习了一个新函数：．小明首先观察函数表达式，确定此函数的自变量的取值范围，之后列表