6.2.4向量的数量积
第1课时向量的数量积(1)
【学习目标】
1.理解平面向量数量积的概念.
2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的含义.
3.会求向量的数量积、投影向量与两个向量的夹角.
【素养达成】
数学抽象
直观想象
数学运算
一、向量的夹角
1.定义:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.
2.范围:θ∈[0,π].
3.记作:a,b.
4.特例:(1)当θ=0时,向量a与b同向.
(2)当θ=π时,向量a与b反向.
(3)当θ=π2时,向量a与b垂直,记作a⊥b
二、向量的数量积
1.向量的数量积
(1)条件:两个非零向量a,b,a,b=θ;
(2)定义:|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积;?
(3)记法:a·b,即a·b=|a||b|cosθ;?
(4)规定:零向量与任一向量的数量积为0.
2.投影向量
(1)条件:两个非零向量a,b,=a,=b;
(2)投影:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别是A1,B1,得到,称这种变换为向量a向向量b投影;
(3)定义:叫做向量a在向量b上的投影向量.
(4)公式:a在b方向上的投影向量是|a|cosθe,其中a,b=θ,e=b|
【明辨是非】
(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若非零向量a,b互相垂直,则它们的夹角为90°.(√)
提示:由向量夹角的定义可知,此说法正确.
(2)两向量的数量积仍是一个向量.(×)
提示:两向量的数量积是一个数量,故此说法错误.
(3)若a≠0,a·b=0,则b=0.(×)
提示:当a,b为非零向量,且a⊥b时,有a·b=0,但b≠0,故说法错误.
(4)已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则向量e1在向量e2上的投影是12e2.(
提示:向量e1在向量e2上的投影是变换过程,而12e2是向量e1在向量e2上的投影向量
类型一向量的数量积(数学运算)
【典例1】(1)(教材提升·例9)已知|a|=8,|b|=6,a,b=150°,则a·b=()
A.243 B.24
C.243 D.16
【解析】选A.因为|a|=8,|b|=6,a,b=150°,
所以a·b=|a||b|cosa,b=8×6×32）=243
(2)(2024·郑州高一检测)在边长为2的等边△ABC中,·的值是()
A.4 B.4 C.2 D.2
【解析】选D.因为|AB|=|BC|=2,与的夹角为120°,所以·=||·||cos120°=2×2×（12）=2.
【总结升华】
向量数量积
(1)关键:两个向量的模与它们的夹角;
(2)注意:两个向量的夹角需要通过向量夹角的定义确定,不能直接将图形中的夹角作为两个向量的夹角.
【即学即练】
1.如图,在圆C中弦AB的长度为6,则·=()
A.6 B.12 C.18 D.无法确定
【解析】选C.取线段AB的中点D,连接CD,得CD⊥AB.所以·cosA==12·,所以·=·cosA·=12·=18.
2.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·=__________.?
【解析】连接AC,与BD相交于点E,
因为四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,边长为a,所以∠BDC=30°,∠BCD=120°,
BE=DE=acos30°=3a
故BD=3a,,=150°,
所以·=||·||cos150°=3a·a·（32）=32a2.
答案:32a
【补偿训练】
已知圆O的半径为2,弦MN的长为23,若2=,则·=()
A.4 B.2 C.2 D.4
【解析】选B.如图,设MN的中点为Q,连接OQ,则OQ⊥MN.由||=||=2,
||=23,得|MQ|=3,|OQ|=1,所以∠OMQ=π6,||=233
所以|PQ|=33,所以∠POQ=π6,所以∠POM=π6,||=
所以·=·=||||cosπ6
=2×233×32
类型二投影向量(数学运算)
【典例2】在△ABC中,已知||=5,||=4,||=3,求:
(1)在方向上的投影向量;
(2)在方向上的投影向量的模.
【解析】(1)由题意得,AC⊥BC,cosA==35,所以在方向上的投影向量为
||·cosA·=3×35×=925.
(2)由题意得,AC⊥BC,cosB=45,所以在方向上的投影向量为||·(cosB)=5×45=4,
所以在方向上的投影向量的模为4.
【总结升华】
投影向量
(1)依据投影的定义,结合平面几何知识作出恰当的垂线,直接得到投影向量;
(2)直接利用公式:a在b方向上的投影向量是
|a|cosθe,其中a,b=θ,e=