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专题11几何中的最值问题
目录
TOC\o1-2\h\u热点题型归纳 1
题型01将军饮马模型 1
题型02阿氏圆模型 30
题型03胡不归模型 39
题型04隐圆模型 49
题型05费马点模型 73
题型06瓜豆模型 86
题型07代几综合转为二次函数求最值 94
中考练场 107
题型01将军饮马模型
将军饮马模型是初中数学几何板块中研究线段和最值问题的重要内容，通过利用轴对称的性质将线段进行转化，从而求解最短路径，在中考数学中分值占比约3%-5%。
1.考查重点：重点考查学生对将军饮马模型本质的理解，即如何通过作对称点，将“折线段”转化为“直线段”，利用“两点之间线段最短”这一基本原理来确定最短路径，进而解决线段和的最值问题。
2.高频题型：高频题型有在平面几何图形（如三角形、四边形、矩形等）中，给定两个定点和一条定直线，求在直线上找一点，使该点到两定点距离之和最小；在坐标系中，结合点的坐标，利用将军饮马模型求函数图象上的点到两定点距离和的最小值；在实际生活场景中，如选址建仓库、铺设管道等问题，抽象出将军饮马模型并求解。
3.高频考点：考点集中在对称点的构造，准确找到对称轴并作出对应点；理解和运用“两点之间线段最短”来确定最短路径；将实际问题或复杂图形问题转化为标准的将军饮马模型。
4.能力要求：要求学生具备较强的图形分析能力，能从复杂图形中提炼出将军饮马模型的基本结构；拥有良好的逻辑思维能力，清晰理解利用对称转化线段的原理；掌握一定的运算能力，在涉及坐标等问题时，能够准确计算线段长度。
5.易错点：易错点在于不能准确找到对称轴，导致对称点位置错误；对“两点之间线段最短”的应用场景理解不清晰，在构造路径时出现偏差；在将实际问题或复杂图形转化为模型时，对条件分析不全面，遗漏关键信息。
【提分秘籍】
【类型一】两定一动模型
（1）已知：定点在直线的两侧，在直线上有一动点,求：的最小值。
连接与直线的交于点,此时的值最小，为线段的长。即
（2）已知：定点在直线的同侧，在直线上有一动点,求：的最小值。
作点关于直线的对称点,连接与直线交于点,此时的值最小，为线段的长。即
（3）已知：定点在直线的同侧，在直线上有一动点,求：的最大值。
连接并延长，与直线交于点,此时的值最大，为线段的长。即
（4）已知：定点在直线的两侧，在直线上有一动点,求：的最大值。
作点关于直线的对称点,连接并延长，与直线交于点,此时的值最大，为线段的长。即
【类型二】两动一定模型
已知：为内一定点，在射线上分别有两动点,求：的最小值。
作点关于射线的对称点,连接与两条射线的交点分别为,此时的值最小，为线段的长。即，
【类型三】两定两动模型
已知：为内两定点，
在射线上分别有两动点,求：的最小值。
作点Q关于射线的对称点,
作点关于射线的对称点,
连接与两条射线的交点分别为,此时的值最小，为的长。即，
【类型四】两定点一定长模型
（1）已知：直线,分别为直线上方和直线下方的两个定点（直线不与垂直)，在直线上有两动点,且,求：的最小值。
将点向下平移得到点,使,连接,交直线于点,过点作于点,
此时的值最小，为的长
（2）已知：定点在直线的同侧，长度为的线段在直线上移动（点在点左侧)，求：
的最小值。
将点向右平移个单位长度得到点,作点关于直线的对称点,
连接,交直线于点,连接,将点向左平移个单位长度得到点,此时有最小值，为的长。即，,
【类型五】三动点模型
已知：分别为上的动点，求：的最小值。
作点关于的对称点,连接,分别交于点,连接,由对称性可知
所以，
所以，当四点共线时，有最小值，最小值为线段的长。且当时，有最小值。
【典例分析】
例1．（2022·山东德州·中考真题）如图，正方形的边长为6，点在上，，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（????）
??
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，，根据正方形的对称性可得，进而可知，再利用，，三点共线时，的值最小，将转化为，最后运用勾股定理即可解答．
【详解】如图，连接，，
、关于对称，
，
当，，三点共线时，的值最小，
即的值最小，
，，
由勾股定理得：，
即的最小值为，
故选C．
??
【点睛】本题考查了运用轴对称解决最短路径问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当，，三点共线时，有最小值是解题的关键．
例2．（2022·山东滨州·中考真题）如图，在矩形中，．若点E是边AD上的一个动点，过点E作且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，的最小值为．
【答案】
【分析】过点D