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专题10圆中的证明与计算问题
目录
TOC\o1-2\h\u热点题型归纳 1
题型01圆的性质及角度和线段的计算 1
题型02弧长和面积问题 12
题型03切线的判定定理及性质应用 18
题型04相交弦定理 31
题型05切割线定理 35
题型06切线长定理 40
题型07弦切角定理 44
题型08隐圆（定点定长型、定弦定角型、对角互补型） 47
题型09圆与相似综合 55
题型10圆与全等综合 65
题型11圆与三角函数综合 73
中考练场 82
题型01圆的性质及角度和线段的计算
圆的性质及角度和线段的计算是初中数学几何板块中综合性较强的关键内容，它借助圆的独特性质，如垂径定理、圆周角定理等，深度考查学生对几何知识的综合运用能力，在中考数学中分值占比约6%-10%。
1.考查重点：重点考查垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧）、圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）等圆的核心性质在角度和线段计算中的应用，以及利用这些性质进行几何证明。
2.高频题型：高频题型有已知圆的半径、弦长等条件，运用垂径定理求弦心距、弧长等线段长度；根据圆周角与圆心角关系，结合圆内其他角度条件，计算特定角度大小；在圆与三角形、四边形等组合图形中，综合运用圆的性质和其他图形性质，计算线段长度和角度。
3.高频考点：考点集中在垂径定理、圆周角定理、圆心角定理等圆的基本定理应用，圆内接四边形性质（对角互补）的运用，以及切线的性质与判定（切线垂直于过切点的半径）在解决角度和线段问题中的体现。
4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能依据已知条件合理选择圆的性质进行证明和计算；拥有良好的图形识别与分析能力，从复杂图形中提炼出与圆相关的几何关系；掌握扎实的运算能力，尤其是在涉及勾股定理、三角函数等知识用于圆中线段和角度计算时。
5.易错点：易错点在于对垂径定理、圆周角定理等圆的性质理解不透彻，应用时条件使用错误；在计算过程中，因对圆内复杂的角度和线段关系梳理不清，导致计算错误；对圆与其他图形综合问题中，不能有效整合各类图形性质，思路受阻。
【提分秘籍】
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的推论：
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。
圆心角、弦以及弧之间的关系：
①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。
圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
【典例分析】
例1．（2024·海南·中考真题）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可．
【详解】解：连接，，
∵是半圆O的直径，，
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
例2．（2024·山东滨州·中考真题）如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则．
【答案】
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键；
根据圆内接四边形的性质得到，根据菱形的性质，圆周角定理列式计算即可求解．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
例3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，
，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得