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专题09四边形中的证明与计算问题
目录
TOC\o1-2\h\u热点题型归纳 1
题型01以平行四边形为载体的证明、性质应用及边角计算 1
题型02以矩形为载体的证明、性质应用及边角计算 13
题型03以菱形为载体的证明、性质应用及边角计算 33
题型04以正方形为载体的证明、性质应用及边角计算 50
中考练场 72
题型01以平行四边形为载体的证明、性质应用及边角计算
以平行四边形为载体的证明、性质应用及边角计算是初中数学几何板块的核心内容之一，它依托平行四边形独特的性质，综合考查学生对几何知识的理解与运用，常与三角形等知识融合，在中考数学中分值占比约5%-8%。
1.考查重点：重点考查对平行四边形性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）的熟练运用，以及基于这些性质进行几何证明和边角计算，同时考查能否结合其他几何图形知识解决综合问题。
2.高频题型：高频题型有证明一个四边形是平行四边形；利用平行四边形性质证明线段相等、角相等或直线平行；已知平行四边形部分边角条件，计算其他边角的大小；在平行四边形与三角形等组合图形中，进行边角关系的推理与计算。
3.高频考点：考点集中在平行四边形的判定定理（如两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分的四边形是平行四边形）的应用，平行四边形性质在证明和计算中的运用，以及平行四边形与三角形全等、相似等知识的综合考查。
4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能够依据已知条件合理选择平行四边形的判定与性质进行证明和计算；拥有良好的图形分析能力，从复杂图形中识别出平行四边形及相关几何关系；掌握扎实的几何运算能力，准确求解边角数值。
5.易错点：易错点在于判定平行四边形时条件使用不充分或错误；在运用平行四边形性质时，对边、角、对角线关系混淆；在综合图形中，不能有效整合平行四边形与其他图形的性质，导致证明和计算出错；计算过程中粗心大意，出现数值计算错误。
【提分秘籍】
平行四边形的性质：
①边的性质：两组对边分别平行且相等。
②角的性质：对角相等，邻角互补。
③对角线的性质：对角线相互平分。即对角线交点是两条对角线的中点。
④对称性：平行四边形是一个中心对称图形，绕对角线交点旋转180°与原图形重合。
⑤面积计算：等于底乘底边上的高。等底等高的两个平行四边形的面积相等。
平行四边形的判定：
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
符号语言：∵AB∥DC，AB=DC，∴四边行ABCD是平行四边形
②两组对边分别相等（两组对边分别平行）的四边形是平行四边形。
符号语言：∵AB=DC，AD=BC（AB∥DC，AD∥BC），∴四边行ABCD是平行四边形．
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB，∴四边行ABCD是平行四边形
④对角线相互平行的四边形是平行四边形。
符号语言：∵OA=OC，OB=OD，∴四边行ABCD是平行四边形
【典例分析】
例1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件，使四边形是平行四边形．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解．
【详解】解：添加条件：，
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形．
故答案为：（答案不唯一）
例2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（????）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线的性质．由平行四边形的性质和三角形的中位线的性质可求得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴O是中点，
又∵E是中点，
∴OE是的中位线，
∴，，
∵的周长为12，，
∴，
∴的周长为．
故选：B.
例3．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案．
【详解】解：过点D作交的延长线于点F，
∵的垂线交于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
∴，
由勾股定理可得，，
，
∴，
∴
∴
即，解得，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，
故选：C
例4．（2024·黑龙江大庆