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专题03一次函数与反比例函数综合及与几何综合问题
目录
TOC\o1-3\h\u热点题型归纳 1
题型01图象关联问题 1
题型02图象交点问题 7
题型03k的几何意义及其应用 13
题型04面积问题 25
题型05大小范围问题 39
题型06线段和差最值问题 46
题型07存在性问题 59
中考练场 69
题型01图象关联问题
一次函数与反比例函数中的综合问题的图象关联问题（在同一坐标系下共存问题）是初中数学函数板块里，融合两类函数图象知识，考察学生综合分析能力的重要内容。在初中数学考试中，此类题型分值占比约为5%-8%。
考查重点：考查如何依据一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象特征，分析二者的性质、交点意义以及函数间的内在联系。
高频题型：常见高频题型有根据给定图象确定两个函数解析式、通过图象判断不同函数值大小关系、利用图象求解含参不等式的解集等。
高频考点：主要考点包含由图象交点坐标确定函数表达式中的参数，结合图象走势分析函数增减性及取值范围，依据图象判断不等式成立的条件。
能力要求：要求学生具备出色的数形结合思维，能够精准解读图象信息，转化为数学关系，还需有较强的逻辑推理和运算能力，以应对复杂图象情境下的分析。
易错点：易错点在于对一次函数与反比例函数图象性质的记忆混淆，在通过图象求解析式参数、确定函数值范围或不等式解集时出现计算偏差，以及对图象所反映实际问题的理解有误。
【提分秘籍】
审题抓关键
二、活用图象性质
1.一次函数：时图象上升，随增大而增大；时图象下降，随增大而减小。决定与轴交点位置，据此判断图象走向，辅助分析与反比例函数关系。
2.反比例函数：图象在一、三象限，随增大而减小；图象在二、四象限，随增大而增大。利用性质确定其图象位置和变化趋势。
三、关注交点
【典例分析】
例1．（2023·湖北襄阳·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（???）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分两种情况讨论：当时，可排除B；当时，排除C、D．
【详解】解：当时，反比例函数过一三象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一二三象限，故A正确，排除B；
当时，反比例函数过二四象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过二三四象限，排除C、D；
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数综合问题，掌握数形结合的思想是关键．
例2．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（????）
A．或 B．且
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论．
当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围．
【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为，
直线绕点逆时针旋转，
所得的直线与直线平行，
设这条直线的解析式为：，
这条直线经过第一、二、四象限，
，
在直线上，
，
，
，
，
；
当在原点左侧时，
设这条直线的解析式为：，
同理：，
，
，
，
，
．
的取值范围是或．
故选：C．
例3．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：，
∴的取值范围是，
故选：C．
【变式演练】
1．（2024·湖南娄底·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数与（k为常数，）的大致图象可能是（???）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，分别令和，分别找出函数图象所经过的象限，相同的即为本题的答案，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：可化为，
当时，经过第一、二、四象限，经过第一、三象限；
当时，经过第一、三、四象限，经过第二、四象限；
故选：A．
2．（2024·湖南娄底·三模）已知反比例函数和一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，根据反比例函数和一次函数的图象，判断出，，得出函数的图象，