第2课时三角形三边的垂直平分线及用尺规作已知直线的垂线

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1.三角形三边的垂直平分线三角形三条边的垂直平分线交于,并且这一点到三个顶点的距离.?2.用尺规作已知直线的垂线(1)已知底边及底边上的高,能用尺规作出等腰三角形;(2)能用尺规过一点作已知直线的垂线.知识梳理一点相等

三角形三边的垂直平分线的性质考点梳理[典例1]如图,点P为△ABC三边垂直平分线的交点,∠PAC=22°,∠PCB=33°,则∠PAB的度数为()A.33° B.35°C.37° D.39°B

[变式]如图,AF垂直平分BD,DE垂直平分BC.若AD=2,DC=3,则△ABD的周长为.?7

用尺规作已知直线的垂线[典例2]如图,在△ABC中,∠B=30°.(1)用尺规作图法作BC边上的高AD,垂足为D(不写作法,保留作图痕迹);(1)解:如图,AD即为所求作的高.

(2)若AC平分∠BAD,求证:BC=2CD.(2)证明:如图,过点C作CE⊥AB于点E.∵AC平分∠BAD,AD⊥BD,∴∠EAC=∠DAC,∠AEC=∠ADC=90°.又∵AC=AC,∴△AEC≌△ADC,∴CE=CD.在Rt△BCE中,∠B=30°,∴BC=2CE,∴BC=2CD.

过一点作已知直线的垂线的思路(1)以已知点为圆心,适当的长度为半径画弧,在已知直线上截取一条线段;(2)作所截取线段的垂直平分线,即可得到垂线.

三角形三边的垂直平分线的性质的应用[典例3]三条公路将A,B,C三个村庄连成一个如图的三角形区域,如果在这个区域内修建一个公园,要使公园到三个村庄的距离相等,那么这个公园应建在△ABC的()A.三条高所在直线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三条角平分线的交点D.三条中线的交点B

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三角形三边的垂直平分线的性质基础巩固练1.甲、乙、丙三地如图,若想建立一个货物中转仓,使其到甲、乙、丙三地的距离相等,则中转仓的位置应选在()A.三条角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三边中线的交点D.三边上高的交点B

2.如图,D是线段AC,AB的垂直平分线的交点,若∠CAD=32°,∠ABD=28°,则∠BCD的大小是()A.32° B.28° C.30° D.60°C

3.如图,在△ABC中,DE,DF分别为BC,AB边的垂直平分线,连接AD,CD.(1)若∠B=40°,求∠ACD的度数;

(2)判断∠B与∠ACD之间的数量关系,并说明理由.解:(2)∠B+∠ACD=90°.理由如下:∵∠ACD+∠CAD+∠ADC=180°,∴2∠ACD+2∠ABC=180°,∴∠ACD+∠ABC=90°.

用尺规作已知直线的垂线4.在△ABC内找一点P,使点P到B,C两点的距离相等,并且点P到点C的距离等于点A到点C的距离.下列尺规作图中,正确的是()CABCD

B

6.尺规作图:如图,已知线段a,b,求作等腰三角形,使腰长为b,底边上的高为a(ab).(不写作法,保留作图痕迹)解:如图,作ED⊥MN于点D,在射线DE上截取DA,使得DA=a,以点A为圆心、b为半径作弧交MN于点B,C,连接AB,AC,则△ABC即为所求.

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8.如图,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线l1,l2相交于点O.若∠BAC=α,则∠OBC=.(用含α的式子表示)?90°-α

9.如图,在△ABC中,AB=BC,BD平分∠ABC,AB的垂直平分线EF分别交AB,BD,BC于点E,G,F,连接AG,CG.(1)求证:BG=CG;(2)若∠ABC=42°,则∠CGF=.?(1)证明:∵AB=BC,BD平分∠ABC,∴AD=CD,BD⊥AC,∴AG=CG.∵AB的垂直平分线EF交BD于点G,∴AG=BG,∴BG=CG.(2)解:27°(提示:∠CGF=∠BFE-∠GCF=48°-21°=27°)

素养培优练10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,作AB边的垂直平分线交AC边于点D,延长AC,作点D关于直线BC的对称点E,点F为边AB上一点,连接FE,满足FE=FA,连接FD.备用图

(1)依题意补全图形;(2)求证:FB=FD.(1)解:如图.(2)证明:如图,连接BD,BE.∵点D在AB的垂直平分线上,∴DA=DB,∴∠A=∠DBA.∵CD=CE,BC⊥DE,∴BD=BE,∴∠BDE=∠BED,DA=BE.∵AF=EF,∴∠A=∠AEF.∵∠EDB=∠A+∠DBA=2∠A,∴∠AEB=2∠AEF,∴∠AEF=∠BEF=∠A,∴△DAF≌△B