关于求不定积分的几种基本方法第1页，共36页，星期日，2025年，2月5日一般地，如果是的一个原函数，则而如果又是另一个变量的函数且可微，那么根据复合函数的微分法，有由此得第2页，共36页，星期日，2025年，2月5日是具有原函数于是有如下定理：定理1设可导，则有换元公式（5-2）由此可见，一般地，如果积分不能直接利用利用基本积分公式计算，而其被积表达式能表示为的形式，且较易计算，那么可令第3页，共36页，星期日，2025年，2月5日代入后有这样就得到了的原函数.这种积分称为第一类换元法.由于在积分过程中，先要从被积表达式中凑出一个积分因子因此第一类换元法也称为凑微分法.例2求解第4页，共36页，星期日，2025年，2月5日再以代入，即得例3求解被积函数可看成与构成的复合函数，虽没有这个因子，但我们可以凑出这个因子：，如果令便有第5页，共36页，星期日，2025年，2月5日，一般地，对于积分总可以作变量代换，把它化为第6页，共36页，星期日，2025年，2月5日，例4求解令则第7页，共36页，星期日，2025年，2月5日，例5求解令,则,有凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式．在比较熟悉换元法后就可以略去设中间变量和换元的步骤．第8页，共36页，星期日，2025年，2月5日例7求例6求解解第9页，共36页，星期日，2025年，2月5日解例8求第10页，共36页，星期日，2025年，2月5日例9求解类似地可得第11页，共36页，星期日，2025年，2月5日例10求解第12页，共36页，星期日，2025年，2月5日例11求解类似地可得第13页，共36页，星期日，2025年，2月5日类似地可得例12求解例13求解第14页，共36页，星期日，2025年，2月5日第一类换元法有如下几种常见的凑微分形式:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)第15页，共36页，星期日，2025年，2月5日二、第二类换元法第一类换元法是通过变量代换，将积分化为积分．第二类换元法是通过变量代换，将积分化为积分在求出后一个积分后,再以反函数代回去,这样换元积分公式可表示为:上述公式的成立是需要一定条件的，首先等式右边的不定积分要存在，即被积函数的第16页，共36页，星期日，2025年，2月5日有原函数；其次,的反函数要存在.我们有下面的定理．定理2设函数连续,单调、可导，并且，则有换元公式(5-3)下面举例说明公式(5-3)的应用．第17页，共36页，星期日，2025年，2月5日例14求解遇到根式中是一次多项式时，可先通过适当的换元将被积函数有理化，然后再积分．令,则，故第18页，共36页，星期日，2025年，2月5日例15求解令，则,则有例16求解为使被积函数有理化．利用三角公式令则它是的单调可导函数，具有反函数,且第19页，共36页，星期日，2025年，2月5日因而例17求解令则于是第20页，共36页，星期日，2025年，2月5日其中例18求解被积函数的定义域为,令，这时故第21页，共36页，星期日，2025年，2月5日其中,当时,可令类似地可得到相同形式的结果．以上三例中所作的变换均利用了三角恒等式，称之为三角代换，可将将被积函数中的无理因式化为三角函数的有理因式．一般地，若被积函数中含有时，可作代换或；含有时，可作代换；含有时，可作代换第22页，共36页，星期日，2025年，2月5日利用第二类换元法求不定积分时，还经常用到倒代换即等．例19求解令,则因此当时，,有第23页，共36页，星期日，2025年，2月5日当时，有综合起来，得在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到的．所以它们通常也被当