分析本题为解含参数的非齐次线性方程组题，是个很重要
的典型题．一般方法
①将增广矩阵作初等行变换化为行最简形；
②由与的关系判断解的情况，由此得相应的取值；
③由最简形得同解方程组；
④选择非自由未知数，写出通解．解因所以，当，即时，方程组才有解，此时第22页，共32页，星期日，2025年，2月5日同解方程组为，通解为第23页，共32页，星期日，2025年，2月5日关于矩阵的初等变换及线性方程组习题第1页，共32页，星期日，2025年，2月5日第三章矩阵的初等变
换与线性方程组第2页，共32页，星期日，2025年，2月5日（第行的倍加到第行上，记作）.一、内容提要（一）初等变换定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:（i）对调两行（对调两行，记作）；（ii）以数乘某一行中的所有元素（第行乘，记作)（iii）把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去；第3页，共32页，星期日，2025年，2月5日（记号：“”换为“”）矩阵与列等价；记作；若矩阵经过有限次初等列变换变成矩阵，则称阵与等价；记作；矩阵与行等价；记作；若矩阵经过有限次初等变换变成矩阵，则称矩定义2若矩阵经过有限次初等行变换变成矩阵，则称注（1）将定义中“行”改为“列”，称为矩阵的初等列变换；（2）初等行变换与初等列变换统称为初等变换．第4页，共32页，星期日，2025年，2月5日（二）初等矩阵1．定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为2．三种初等矩阵，，.行列式：，，.逆矩阵：,,.作用：“左乘变行，右乘变列．”初等矩阵．第5页，共32页，星期日，2025年，2月5日（三）矩阵的秩1．定义设矩阵中有一个不等于的阶子式，且所有阶子式（如果存在的话）全为,则称为的最高阶非零子式．数称为矩阵的秩，记为.规定：零矩阵的秩为．2．性质（1）.（2）.（3）若，则.（4）若可逆，则.第6页，共32页，星期日，2025年，2月5日3．求法（1）定义法；（四）线性方程组的解1．有非零解；2．有解，；即（1）当时，有唯一解；（2）当时，有无穷多解；（3）当时，无解．3．通解的求法:初等行变换法．（2）利用初等行变换化为与之等价的行阶梯形矩阵．非零行的行