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求极限的常用方法典型例题

掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有

(1)利用极限的四则运算法则；

(2)利用两个重要极限；

(3)利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）；

(4)利用连续函数的定义。

例求下列极限：

9?sin3x?3sin(x?1)

（1）lim（2）lim

x?0xx?1x?12

1x?cosx?122

（3）lim(1?2x)x（4）lim

x?0x??(x?sinx)2

1

（5）lim(xe?x)

x?0x?1

解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计

算，即

9?sin3x?3

lim

x?0x

(9?sin3x?3)(9?sin3x?3)

=lim

x?0x(9?sin3x?3)

sin3x1

=lim?lim

x?0xx?09?sin3x?3

11

=3??

62

（2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即

sin(x?1)sin(x?1)

lim?lim

x?1x?12x?1(x?1)(x?1)

sin(x?1)1

?lim?lim

x?1x?1x?1x?1

11

?1??

1?12

（3）利用第二重要极限计算，即

11

lim(1?2x)lim[(1?2x)]?2?e?2

x＝?2x。

x?0x?0

（4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即

整理为word格式

cosx?12cosx?12

1?lim[1?]

limx?cosx?122?limx2?x??x2=1

x??(x?sinx)2x??sinxsinx

(1?)2lim(1?)2

xx