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第四章函数的连续性

§1连续性概念

连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数.

从几何形象上粗略地说,连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的

曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识,而应给出函数连续性的精确定义,

并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间

上的连续性.

一函数在一点的连续性

定义1设函数f在某U(x)内有定义.若

0

limf(x)=f(x),(1)

0

x→x

0

则称f在点x连续.

0

例如,函数f(x)=2x+1在点x=2连续,因为

limf(x)=lim(2x+1)=5=f(2).

x→2x→2

又如,函数

1

xsin,x≠0,

f(x)=x

0,x=0

在点x=0连续,因为

1

limf(x)=limxsin=0=f(0).

x

x→0x→0

为引入函数y=f(x)在点x连续的另一种表述,记Δx=x-x,称为自变

00

量x(在点x)的增量或改变量.设y=f(x),相应的函数y(在点x)的增量

0000

记为

Δy=f(x)-f(x)=f(x+Δx)-f(x)=y-y.

0000

注自变量的增量Δx或函数的增量Δy可以是正数,也可以是0或负数.

引进了增量的概念