第五章定积分积分学不定积分定积分
第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的近似计算定积分的概念及性质第五章四、定积分的性质
一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积
解决步骤:1)大化小.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)常代变.在第i个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得
3)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积
2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变.得已知速度n个小段过的路程为
3)近似和.4)取极限.上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限
二、定积分定义(P226)任一种分法任取总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称f(x)在[a,b]上可积.记作
积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即
定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和
可积的充分条件:取定理1.定理2.且只有有限个间断点(证明略)例1.利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为
注注注.当n较大时,此值可作为的近似值
[注]利用得两端分别相加,得即
四、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k为常数)三.定积分的近似计算略例1
证:当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取c为分点,于是
当a,b,c的相对位置任意时,例如则有
6.若在[a,b]上则证:推论1.若在[a,b]上则
例2：P237题13(4)解:设则即
推论2.证:即7.设则
例3.试证:证:设则在上,有即故即
8.积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质7可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.性质7
说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对因
二、积分上限的函数及其导数三、牛顿–莱布尼茨公式一、引例第二节微积分的基本公式第五章
一、引例在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数之间有关系:物体在时间间隔内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.
二、积分上限的函数及其导数则变上限函数证:则有定理1.若
说明:1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.则变上限函数定理1.若
三、牛顿–莱布尼茨公式(牛顿-莱布尼茨公式)证:根据定理1,故因此得记作定理2.函数,则或
例4.计算解:例5.计算正弦曲线的面积.解:
思考题.计算解:思考:下列作法是否正确?
例6.汽车以每小时36km的速度行驶,速停车,解:设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度车到停车走了多少距离?
思考题（不是作业）P236：10;13.第二节作业P244：2；3;4;5(3);8(8)(11)(12).