关于高一数学二次函数的性质和图象第1页，共16页，星期日，2025年，2月5日（一）二次函数的定义一般地，如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0),那么y叫做x的二次函数.①②解：根据题意，得２第2页，共16页，星期日，2025年，2月5日（二）二次函数的几种表达式：①、②、③、(顶点式)(一般式)(交点式)第3页，共16页，星期日，2025年，2月5日例2、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是-1、3，与y轴交点的纵坐标是：（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.（1）确定抛物线的解析式；你能用不同方法求解析式吗?试试看哦开口向上;对称轴直线x=1;顶点坐标(1,-2)第4页，共16页，星期日，2025年，2月5日抛物线开口方向顶点坐标对称轴最值a0a0增减性a0a0当a0时开口向上，并向上无限延伸；当a0时开口向下，无限延伸.(h,k)直线直线在对称轴左侧，y随x的增大而减小在对称轴右侧，y随x的增大而增大在对称轴左侧，y随x的增大而增大在对称轴右侧，y随x的增大而减小xyxy（三）二次函数的图像与性质第5页，共16页，星期日，2025年，2月5日（四）研究二次函数的一般方法:（1）配方（2）求函数的图象与x轴的交点（3）列表描点作图（4）函数图象的对称性质（5）函数的增减性，最值第6页，共16页，星期日，2025年，2月5日例3.研究函数的图像与性质.所以函数y=f(x)的图像可以看作是由y=x2经一系列变换得到的，具体地说：先将y=x2的图像向左移动4个单位，再向下移动2个单位得到的图像解：（1）配方得（2）函数与x轴的交点是：(－6，0)和(－2，0)（0，6）函数与y轴的交点：第7页，共16页，星期日，2025年，2月5日（4）函数f(x)在(－∞,－4]上是减函数，在[－4,+∞)上是增函数.（5）函数f(x)在x=－4时，取得最小值－2，记为ymin=－2.它的图象顶点为(－4，－2)（3）函数图像的对称性质：函数的对称轴是x=－4。如果一个函数f(x)满足：f(a+x)=f(a－x)，那么函数f(x)关于x=a对称.第8页，共16页，星期日，2025年，2月5日练习.已知抛物线y=的的对称轴x=2（1）求m的值，并判断抛物线开口方向；（2）求函数的最值及单调区间。解：（1）因为抛物线的对称轴是x=2，所以，解得m=2，m－10，抛物线的开口向上.（2）原函数整理得y=x2－4x+3=(x－2)2－1.所以当x=2时，ymin=－1.单调增区间为[2,+∞)，单调减区间为(－∞,2].第9页，共16页，星期日，2025年，2月5日例4.已知函数f(x)=ax2+bx(a，b为常数)，x∈[－1，1]，（1）若函数f(x)为偶函数，且f(1)=1，求a，b的值；（2）若函数f(x)为奇函数，且f()=,求f(x)的值域。解：（1）因为函数f(x)=ax2+bx为偶函数，所以b=0，又f(1)=1，所以a=1.f(x)=x2.（2）函数f(x)为奇函数，则a=0，b=1，所以f(x)=x，x∈[－1，1]，所以值域是[－1，1].第10页，共16页，星期日，2025年，2月5日例5.已知函数f(x)=x2－4x+1，不计算函数值，比较f(－1)、f(1)、f(4)、f(5)的大小。解：f(x)=x2－4x+1=(x－2)2－3，对称轴是x=2，在区间[2,+∞)上是增函数.f(－1)=f(2－3)=f(2+3)=f(5)，f(1)=f(2－1)=f(2+1)=f(3)，所以f(1)f(4)f(－1)=f(5).第11页，共16页，星期日，2025年，2月5日例6.已知二次函数y=x2－mx+m－2，（1）证明：无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个交点；（