求曲线在点某处或过某点的切线方程
1.求曲线在某点处的切线
例1．求曲线y?x?3x3在点P(?2,?14)处的切线方程
分析：由在点P(?2,?14)处的切线，可知P(?2,?14)是切线的切点。由导数的几何意，
可得切线的斜率等于函数y?x?3x3在x??2处的导数，再由直线的点斜式方程可求得切
线方程
解：由f(x)?3x?32，得切线的斜率为k?f(?2)?15，
所以切线方程为y?14?15(x?2)，即y?15x?16
P
归纳：这类问题就是已知点是切点，求切线方程。可以先求出函数在该点处的导数，它
也就是切线的斜率，再运用直线的点斜式方求出切线方程
y?1?2ln(2x?1)P(0,1)
练习：求曲线在点处的切线方程
14
解：由f(x)?2???(2x?1)??，得
2x?12x?1
切线的斜率为k?f(0)?4?，故所求的切线方程为
y?1?4(x?0)，即4x?y?1?0
2.求曲线经过点P处的切线方程
例2．已知曲线C：f(x)?x?x?23，求经过点P(1,2)的曲线C的切线方程
f(x)?3x?1k?f(1)?22
错解：由，得，
y?2?2(x?1)y?2x
所以所求的切线方程为，即。
错因剖析：此处所求的切线只说经过P点，而没说P点一定是切点，于是切线的斜率
k与f(1)不一定相等。比如（如图）当0?x?2?时，正弦曲线y?sinx在点P处的切线
lll
只有一条：；而经过点P的切线却有两条：与。
112
正解：设经过点P（1，2）的直线与曲线C相
y
切于点(x,y)，则由f(x)?3x?12，
00
l
得在点(x,y)处的斜率k?f(x)?3x?12，1
0000
o
x
P
1/2l
2
有在点(x,y)处的切线的方程为
00
y?y?(3x?1)(x?x)2。
000
又因为点(x,y)与点P（1，2）均在曲线C上，
00
?3
?y?x?x?2
000y32
有?，消去得x?x?(3x?1)(1?x)，
??2?