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极化恒等式在向量问题中的应用

学习目标

1.掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义；

2.掌握用极化恒等式求数量积的值、最值、范围；

3.分析题目形式，理解使用极化恒等式的缘由.

?典型考题

2014II43aba?b?10a?b?6ab

（年高考全国卷文（理）科第（）题）设向量，满足，，则等

?

于（）

A.1B.2C.3D.5

?背景展现

·4·A2007221082.4

普通高中课程标准实验教科书《数学必修版》（人民教育出版社，年月第版）第页习题中的

A3

组第题：

a?2b?5ab=-3a?ba?b.

已知，，，求，

?

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【课堂练习·高考再现】

一、求数量积的值

1.（2016年高考江苏卷第13题）如图1，在?ABC中，D是BC的中点，E,F是AD的两个三等分点，BACA?=4，

BFCF?=-1，则BECE?=.A

E

F

BDC

2.（2012年高考浙江卷理科第15题）在?ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则ABAC?=.

?ABCDBCABBD

3.（2011年高考上海卷理科第11题）在正中，是上的点，=3，=1，则ABAD?=.

ABCDABADPABCD

4.（2015年全国高中数学联赛四川赛区预赛第11题）在矩形中，=3，=4，为矩形所在

平面上一点，满足PA=2，PC=21，则PBPD?=.

二、界定数量积的取值范围

?ABCCA?CB?3M，NAB

5.（2015年郑州市高三第一次质量检测理科第11题）在Rt中，,是斜边上的两个

MN?2CMCN（）

动点，且,则?的取值范围

??5??????

A.2,B.2,4C.3,6D.4,6

??2

??

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