10.1.3古典概型(2)
【学习目标】
【素养达成】
1.进一步理解古典概型的定义.
数学抽象
2.熟练掌握古典概型的概率计算公式.
数学抽象、数学运算
类型一“放回”与“不放回”的古典概型问题(数学运算)
【典例1】口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球,求:
(1)从中任意摸出两个小球,摸出的是红球和白球的概率;
(2)从袋中摸出一个后放回,再摸出一个,两次摸出的球是一红一白的概率.
【解析】(1)无放回地取球.任意摸出两个小球的样本空间为{(红,白),(红,黄),(白,黄)},所以摸出的是红球和白球的概率为13
(2)有放回地取球.样本空间为{(红,红),(红,白),(红,黄),(白,白),(白,红),(白,黄),(黄,红),(黄,白),(黄,黄)},而事件“摸出一红一白”包括(红,白),(白,红)2个样本点,所以两次摸出的球是一红一白的概率为29
【变式1】保持本例前提条件不变,若从袋中摸出一个后放回,再摸出一个,求第一次摸出红球,第二次摸出白球的概率.
【解析】有放回地取球.样本空间为{(红,红),(红,白),(红,黄),(白,白),(白,红),(白,黄),(黄,红),(黄,白),(黄,黄)},第一次摸出红球,第二次摸出白球,只有(红,白)1个样本点,故所求概率为19
【变式2】保持本例前提条件不变,若从袋中依次无放回地摸出两球,求第一次摸出红球,第二次摸出白球的概率.
【解析】无放回地取球.样本空间为{(红,白),(红,黄),(白,红),(白,黄),(黄,红),(黄,白)},所以第一次摸出红球,第二次摸出白球的概率是16
【总结升华】
解题时要注意是“有放回抽取”还是“不放回抽取”,若是“有放回抽取”,则在每次抽取之前,产品种类及个数都不发生变化,因此某件新产品被抽到的概率也不变;若是“不放回抽取”(假设每次抽取的结果都可知),则在每次抽取之前,所剩产品种类及个数都在发生变化,因此某件产品被抽到的概率也在不断变化.
【即学即练】
(2024·长沙高一检测)某班6名同学的数学、语文成绩(满分为150分)对应如表:
数学
成绩
122
105
113
127
130
135
语文
成绩
116
121
127
135
130
140
规定成绩不低于120分的为优秀.
(1)现从这6名同学中抽2人,问这2人的数学成绩都为优秀的概率是多少?
(2)从这6名同学中抽3人,求恰有1人两科成绩均为优秀的概率.
【解析】(1)记事件M=“这2人的数学成绩都为优秀”.由题表可知这6人中有4人的数学成绩为优秀,设数学成绩优秀的4名同学分别为1,2,3,4,数学成绩不优秀的2名同学分别为a,b,则样本空间Ω1={(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b)},共有15个样本点,
M={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共有6个样本点,
所以P(M)=615=2
(2)由题表知两科成绩均为优秀的有3人,设这3名同学分别为5,6,7,两科成绩不都优秀的3名同学分别为A,B,C.记事件N=“抽取的3人中,恰有1人两科成绩均为优秀”,
则样本空间Ω2={(5,6,7),(5,6,A),(5,6,B),(5,6,C),(5,7,A),(5,7,B),(5,7,C),(6,7,A),(6,7,B),(6,7,C),(5,A,B),(5,A,C),(5,B,C),(6,A,B),(6,A,C),(6,B,C),(7,A,B),(7,A,C),(7,B,C),(A,B,C)},共有20个样本点,
N={(5,A,B),(5,A,C),(5,B,C),(6,A,B),(6,A,C),(6,B,C),(7,A,B),(7,A,C),(7,B,C)},共有9个样本点,所以P(N)=920
类型二古典概型与统计的综合问题(数学运算)
【典例2】某中学为普及法律知识,组织高一学生学习法律常识小册子,并随机抽出100名学生进行法律常识考试,并将其成绩制成如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这100人的平均成绩;
(2)若在这100人中,成绩在[90,100]的学生中恰有2位是男生,现从样本中成绩在[90,100]的学生中抽取3人去校外参加社会法律知识竞赛,求其中恰有一位男生的概率.
【解析】(1)由频率分布直方图可知,(0.005+0.04+0.03+a+0.005)×10=1,解得a=0.020,
所以这100人的平均成绩为(55×0.005+65×0.04+75×0.03+85×0.02+95×0.005)×10=73,即这100人的平均成绩为73分.
(2)依题意可知成