第4章4.54.5.1

1．下列等式不成立的是()

A.eq\i\in(a,b,)[mf(x)＋ng(x)]dx＝meq\i\in(a,b,)f(x)dx＋neq\i\in(a,b,)g(x)dx

B.eq\i\in(a,b,)[f(x)＋1]dx＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx＋b－a

C.eq\i\in(a,b,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx·eq\i\in(a,b,)g(x)dx

D.eq\i\in(－2π,2π,)sinxdx＝eq\i\in(－2π,2π,)πsinxdx＋eq\i\in(0,2π,)sinxdx

解析：由定积分的性质知选项A，B，D正确，故选C.

答案：C

2．定积分eq\i\in(1,3,)(－3)dx＝()

A．－6 B．6

C．－3 D．3

解析：eq\i\in(1,3,)3dx表示右图中阴影部分的面积S＝3×2＝6，eq\i\in(1,3,)(－3)dx＝－eq\i\in(1,3,)3dx＝－6.

答案：A

3．求由曲线y＝ex、直线x＝2、y＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分上限和积分下限分别为()

A．e2,0 B．2,0

C．2,1 D．1,0

解析：解方程组

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝ex，,y＝1，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝ex，,x＝2，))

可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝e2.))

∴积分上限为2，积分下限为0.

答案：B

4．计算eq\i\in(1,2,)eq\r(4－x2)dx＝____________.

解析：由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影部分的面积．易知AB＝eq\r(3)，∠AOB＝eq\f(π,3)，故S阴＝eq\f(1,6)×4π－eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(2π,3)－eq\f(\r(3),2).

答案：eq\f(2π,3)－eq\f(\r(3),2)

5．已知eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f(1,4)，eq\i\in(1,2,)x3dx＝eq\f(15,4)，eq\i\in(1,2,)x2dx＝eq\f(7,3)，eq\i\in(2,4,)x2dx＝eq\f(56,3)，求下列各式的值：

(1)eq\i\in(0,2,)3x3dx；

(2)eq\i\in(1,4,)6x2dx；

(3)eq\i\in(1,2,)(3x2－2x3)dx.

解：(1)eq\i\in(0,2,)3x3dx＝3eq\i\in(0,2,)x3dx＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\in(0,1,)x3dx＋\i\in(1,2,)x3dx))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(15,4)))＝12.

(2)eq\i\in(1,4,)6x2dx＝6eq\i\in(1,4,)x2dx＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\in(1,2,)x2dx＋\i\in(2,4,)x2dx))＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)＋\f(56,3)))＝126.

(3)eq\i\in(1,2,)(3x2－2x3)dx＝3eq\i\in(1,2,)x2dx－2eq\i\in(1,2,)x3dx＝3×eq\f(7,3)－2×eq\f(15,4)＝－eq\f(1,2).